Giáo trình Dao động kỹ thuật - Thái Văn Nông

Nội dung text: Giáo trình Dao động kỹ thuật - Thái Văn Nông

1. bảo toàn. W Wđ Wt const Trong đó : W - cơ năng toàn phần; Wđ - động năng; Wt - thế năng. Ví dụ một vật dao động điều hòa có PTDĐ như sau q q0 cos(t ) 1 1 Động năng W mV 2 m 2q 2 sin 2 (t ) W sin 2 (t ) đ 2 2 0 1 1 Thế năng W m 2q 2 m 2q 2 cos2 (t ) W cos2 (t ) t 2 2 0 Cộng 2 vế của 2 phương trình trên ta được: 1 W W W m 2q 2 const đ t 2 0 II. CÁC CÁCH BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG Chúng ta có thể biểu diễn dao động bằng phương trình đại số như phương trình (1-3) hay bằng đồ thị như hình 1.2, 1. 3, 1.4 đã giới thiệu. Qua đó tính toán được các đặc trưng cơ bản của chúng như biên độ, tần số, góc lệch pha theo các công thức nêu trên. Ở đây chúng ta làm quen với các phương pháp biểu diễn dao động bằng số phức và véctơ quay là những phương pháp hay dùng để nghiên cứu dao động sau này. Nếu chúng ta cộng thêm vào vế phải của phương trình biểu diễn dao động điều hoà (1-3) một lượng phức tương ứng là j.qo sin(t + ), thì vế phải của nó sẽ trở thành một số phức : q(t) = qo cos(t + ) + j qo sin(t + ) (a) (1-11) j(t+ ) jt j = qo e = qo e .e Với j là đơn vị ảo : j2 = -1. Biểu diễn trên mặt phẳng số q sẽ là một véctơ có độ dài A = qo và làm với 11
2. trục thực góc (t + ) (Hình 1.5), ta ký hiệu bằng chữ q có gạch ngang ở dưới q. Khi cho véctơ này quay với vận tốc góc  quanh góc toạ độ hình chiếu của nó trên trục thực sẽ biểu diễn quy luật (1-3) của dao động điều hoà : q(t) = qo cos(t + ) vì thế cũng có thể dùng số phức (1-11) hay véctơ quay trong hình 1.5 để biểu diễn dao động. j véctơ qo = Ae (1-12) biểu diễn véctơ q ở vị trí t = 0 gọi là biên độ phức của dao động. Hình 1.5 – Biểu diễn dao động bằng Vectơ quay Khi tính toán chúng ta thường véctơ hoá các bài toán dao động nghĩa là biểu diễn các dao động bằng véctơ hay số phức, sau đó tiến hành các phép tính cộng, trừ các véctơ, nhân các véctơ với một số cũng như đạo hàm, tích phân, vi phân các véctơ theo thời gian để giải bài toán. Kết quả của bài toán này sẽ là một véctơ hay số phức. Ta chỉ cần chiếu véctơ đó lên trục thực hay lấy phần thực của số phức kết quả đó sẽ được lời giải của bài toán an đầu. Sơ đồ thuật toán giải quyết bài toán dao động bằng phương pháp véctơ hóa có thể tóm tắt trên hình 1.6. Trong những phần tiếp sau chúng ta sẽ thấy rõ ứng dụng của phương pháp trên. 12
3. Hình 1.6 - Thuật toán vectơ hoá III. TỔNG HỢP VÀ PHÂN TÍCH CÁC DAO ĐỘNG Trong thực tế ta thường gặp các bài toán trong đó một vật đồng thời tham gia nhiều dao động dẫn đến việc cần tổng hợp hoặc phân tích các dao động. Khi các dao động đã được vectơ hoá, những bài toán này trở thành những bài toán tìm tổng hoặc hiệu của các vectơ quay. Giả sử ta cần tổng hợp 2 dao động: q1 = A1 cos(1t + 1) q2 = A2 cos(2t + 2) (1-13) Khi thêm vào các phần ảo tương ứng ta nhận được 2 vectơ j ( t ) A1 cos(1t + 1) + j A1 sin(1t + 1)= A1. e 1 1 j ( t ) A2 cos(2t + 2) + j A2 sin(2t + 2)= A2. e 2 2 (1-14) Chia bài toán làm 3 trường hợp. 1. DAO ĐỘNG CÙNG PHA Nghĩa là 1 = 2 =  Và 1 = 2 = Bài toán sẽ đơn giản vì các vectơ q1, q2 cùng nằm trên một giá. 13
4. j ( t ) j ( t ) q = q1 + q2 = A1. e 1 1 + A2. e 2 2 j(t + ) = (A1 ± A2 ).e (1-15) Có nghĩa là dao động tổng cộng cũng có cùng pha và biên độ bằng tổng đại số các biên độ của dao động thành phần. 2. CÁC DAO ĐỘNG CÙNG TẦN SỐ Nghĩa là 1 = 2 =  Và 1 ≠ 2 Do các tần số bằng nhau nên các vertơ q1 và q2 sẽ cùng quay quanh gốc O với vận tốc , tam giác OA1 A2 trong khi quay sẽ không bị biến dạng. Vì thế dao động tổng cũng có cùng tần số vòng , có dạng: q = A cos(t + ) và biên độ bằng tổng (hình học) các vectơ q1 và q2 . Hình 1.7 – Biểu diễn vectơ hình học Theo các quan hệ hình học của các vectơ trên hình 1.7, xây dựng tại thời điểm t = 0, ta có biên độ của vector tổng : 2 2 A= A1 A 2 2 A1 A 2 cos( 2 1 ) (a) (1-16) 2 2 Hay A= ( A1 sin 1 A2 sin 2 ) ( A1 cos 1 A2 cos 2 ) (b) Góc lệch pha của 2 dao động: 14
5. A sin A sin tg = 1 1 2 2 (1-17) A cos A cos 1 1 2 2 Các trường hợp đặc biệt: a. Các dao động có cùng biên độ: nghĩa là ngoài điều kiện là 1 = 2 =  và 1 ≠ 2 , các dao động còn có A1 = A2 (hình 1.8) Khi đó hình bình hành trở thành hình thoi. Hình 1.8 – Biểu diễn vectơ hình học Nếu ( 1 - 2) = 2 thì biên độ của dao động là: A= A1cos (1-18) Còn góc lệch pha của nó là: 1 = 1 +  = 2 - (1-19) b. Các góc lệch pha hơn kém nhau : 2 15
6. Hình 1-9: Tổng hợp các dao động cùng tần số Khi đó vectơ q1 và q2 sẽ vuông góc với nhau (hình 1-9a): 2 2 Độ dài của vectơ tổng: A = A1 A2 (1-20) A2 A2 Góc lệch pha của nó = 1 + arctg = 2 - arctg (1-21) A1 A1 Trong điều kiện này nếu thêm điều kiện 1 = 0 thì = (hình 1-9b) 2 Ta có q = A1 cos t + A2 cos(t + ) 2 = A1 cos t + A2 sin t = q0 cos(t + ) 2 2 A2 Trong đó A = A1 A2 và tg = A1 3. CÁC DAO ĐỘNG KHÁC PHA Nghĩa là 1 ≠ 2 và 1 ≠ 2 Nghiên cứu một cách chính xác bằng lý thuyết trường hợp này sẽ rất phức tạp. Ở đây ta xét một trường hợp đơn giản và hay xẩy ra trong thực tế, đó là trong truờng hợp dao động có tần số gần bằng nhau 1 ≈ 2 Trong trường hợp này : 16
7.  * Nếu 1 là một số vô tỉ, dao động sẽ không có chu kỳ. 2 1 n1 * Nếu = trong đó n1 ; n2 nguyên thì dao động tổng có thể không điều 2 n2 hoà nhưng sẽ tuần hoàn nghĩa là có chu kỳ. n1 2 n2 2 Chu kỳ đó là T n1T1 n2T2 (1-22) 1 2 Ta tính độ dài vectơ biên độ tổng tại thời điểm t: 2 2 A= A1 A2 2A1 A2 cos(2 1 )t ( 2 1 ) (1-23) Bởi vì 1 2 nên 2 - 1 nhỏ cos [(2 - 1)t + ( 2 - 1)] thay đổi chậm theo thời gian nên biên độ A cũng thay đổi chậm theo thời gian. Như vậy dao động tổng là dao động họ hình sin với biên độ biến đổi theo hàm số cos(2 - 1)t . Hiện tượng này gọi là hiện tượng phách của dao động. Chu kỳ biến đổi biên độ còn gọi là bước phách. 2 TA = 2 1 Trên hình 1-7 ta cũng thấy do 1 2 nên trong quá trình quay giống như kim giờ và kim phút của một chiếc đồng hồ, góc hợp bởi vectơ q1 và q2 cũng dần thay đổi. Nói cách khác các vectơ q1 và q2 cũng quay tương đối so với nhau. Từ đó tam giác OA1 A2 sẽ bị biến dạng trong quá trình quay, dẫn đến biên độ dao động tổng thay đổi theo thời gian. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biên độ có thể xác định được khi các vectơ q1 và q2 cùng phương, cùng hướng và cùng phương nhưng ngược hưóng với nhau: A1 A2 A A1 A2 (1-25) Khi A1 ≠ A2 ta có hiện tượng phách thường (hình 1-16). Khi A1 = A2 ta có 2 ≥ A ≥ 0 (1-26) Gọi là phách toàn phần. Khi này biên độ dao động tổng có trị số nhỏ nhất 17
8. bằng 0 và lớn nhất bằng 2 lần biên độ dao động thành phần (hình 1-11). Hình 1.10 – Hiện tượng phách thường Hình 1.10 – Hiện tượng phách toàn phần 18
9. IV. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Câu 1 - Dao động là gì? Thế nào là dao động họ hình sin và dao động điều hoà. Câu 2 - Các đặc trương cơ bản của dao động: - Biên độ - Chu kỳ, tần số, tần số vòng - Pha và pha ban đầu . Ý nghĩa vật lý của chúng. Câu 3 - Các cách biểu diễn dao động? Xác định các đặc trưng cơ bản của dao động trong các cách biểu diễn ấy. Câu 4 - tổng hợp 2 dao động: - Cùng pha - Cùng tần số - Khác pha. Câu 5 - Cho PTDĐ của vật có dạng x= 5sin(2 t) cm. Pha ban đầu của dao động là : a) 0 b) c) d)2 2 Câu 6 - Cho PTDĐ của vật có dạng x= -5sin(2 t) cm. Pha ban đầu của dao động là : a) 0 b) c) d)2 2 Câu 7 - PTDĐ của vật có dạng x=Asin(5 t)+Acos(5 t) cm. Biên độ dao động của vật là : A a) b)A c)A 2 d) A 3 2 Câu 8 - Con lắc lò xo gồm vật m và lò xo có độ cứng k dao động điều hòa, khi mắc thêm vào vật m vào một vật khác có khối lượng gấp 3 lần vật m thì chu 19
10. kỳ dao động của chúng là : a) Tăng lên 3 lần b) giảm đi 3 lần c) Tăng lên 2 lần d) giảm đi 2 lần Câu 9 - Biểu diễn các dao động sau đây dưới dạng số phức hoặc vectơ quay: a- Dao động Z có biên độ bằng 3 cm và tần số f = 20 Hz, góc lệch pha = 300 b- Dao động = 0,2cos( t - ) rad 2 4 c Dao động X = 5 cos2,1t +4sin2,1t (cm). Câu 10 - Xác định các thông số: biên độ, tần số, tần số vòng, góc lệch pha của các dao đông trên. jt Câu 11 - Cho Z1 = Acost + jBsint, Z2 =C.e Tính: Z1 + Z2 và Z1 – Z2 Câu 12 -Một vật dao động điều hòa cứ 10 s thì thực hiện được 20 dao động. Biên độ dao động của vật là 1 cm. Tại thời điểm t=0 : x=0, v=4 cm/s. 1) Viết PTDĐ 2) Tính vận tốc và gia tốc của vật trong hai trường hợp: a) khi vật đi qua vị trí cân bằng. b) Khi vật ở vị trí biên. Câu 13 - Một toa xe (hình BT1-1) chạy trên đường lồi lõm có qui luật: 2 2 V ZD = 0,01 cos X = 0.01 cos t L L Với vận tốc V = 50 km/h và chiều dài thanh ray L-12,5m. Tính dao động kích thích tổng của các bánh xe lên thùnh xe: Z B1 Z B2 Zt = 2 Biết khoảng cách 2 trục bánh xe L = 8,6 (m). 20
11. Hình BT1.1 Toa xe trên đường lồi lõm 21
12. Chương 2- DAO ĐỘNG CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO I. MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA HỆ DAO ĐỘNG MỘT BẬC TỰ DO 1. MÔ HÌNH Hệ một bậc tự do là hệ cơ học mà vị trí của vật trong không gian có thể xác định bằng một tọa độ suy rộng duy nhất. Trong nhiều trường hợp chúng ta gặp trong thực tế, dao động của vật có thể mô hình hóa thành hệ dao động một bậc tự do. Hai dạng thường gặp của chúng là dao động có chuyển vị đường ví dụ dao động của vật trong ke trượt (a), dao động của ô tô, tàu hỏa (b), và dao động có chuyển vị góc, ví dụ như dao động của kim đồng hồ đo điện khi bắt đầu hoặc kết thúc phép đo (c), hình 2.1. Hình 2.1 Ví dụ về dao động 1 bậc tự đo Mô hình chung của dao động có chuyển vị đường thể hiện trên hình 2.2a. Đó là một vật có khối lượng m, trọng tâm G đặt trên một lò xo có độ cứng C và một giám chấn có hệ số cản K, lực kích thích làm cho vật dao động là F. Tương tự, mô hình dao động có chuyển vị góc là một vật có mômenquán tính đối với trục quay J, gắn với trục thông qua một lò xo có độ cứng xoắn C và một giảm chấn có hệ số cản K , mômen kích thích dao động là M (hình 2.2b). 22
13. Hình 2.2- Mô hình dao động một bậc tự do 2. CÁC YẾU TỐ CẤU THÀNH MÔ HÌNH a. Vật thể: được đặc trưng bằng khối lượng m đặt tại trọng tâm G (hoặc mômenquán tính khối lượng đối với trục quay J). Vị trí cân bằng Z=0 được chọn là vị trí trọng tâm G khi lò xo chịu độ nhún tĩnh (dưới tác dụng của trọng lượng P=mg). Chuyển vị của vật thể được xem là chuyển vị của trọng tâm G kể từ vị trí cân bằng. Khi có lực kích thích vật sẽ chuyển động xung quanh vị trí cân bằng. b. Lò xo: đại diện cho các mối liên kết đàn hồi như lò xo tròn, nhíp, đệm cao su, lò xo không khí (lốp hơi) cũng như các mối liên kết sinh ra lực hồi vị khác. Khi lò xo bị nén lại hoặc kéo dãn ra sẽ phát sinh lực hồi vị (muốn đưa vật về vị trí cũ). Trị số của lực này là hàm số của độ nhún (chuyển vị): ' Flx f (Z) [N] (2-1) 23
14. Hình 2.3- Đặc tính và độ cứng của lò xo Đường biểu diễn quan hệ giữa lực hồi vị và độ nhún gọi là đặc tính của lò xo (hình 2.3). Đạo hàm của đường đặc tính tại một điểm gọi là độ cứng của lò xo tại điểm đó: dF C lx [N/m] (2-2) dz Lò xo tròn có đặc tính là đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Ta nói lò xo này có đặc tính tuyến tính: Flx = CZ [N] (2-3) Trong đó độ cứng: C tg const [N/m] (2-4) Các dạng lò xo khác như lò xo nón, lò xo cao su, lò xo không khí thường có đặc tính không phải là đường thẳng, do đó độ cứng của chúng cũng không là hằng số. Nói chung là : C = f(z) [N/m] (2-5) Ta gọi các lò xo đó là các lò xo có đặc tính phi tuyến. Trong một số bài toàn thực tế, độ cứng của lò xo trong mô hình có thể là độ cứng chống kéo nén, độ cứng chống xoắn, độ cứng chống uốn của một thanh tiết 24
15. diện đều đồng chất hay tổ hợp của các lò xo mắc nối tiếp hoặc song song với nhau. Khi đó chúng ta phải tính độ cứng theo sức bền vật liệu hoặc thay thế chúng bằng một lò xo rồi tính độ cứng tương đương. Sau đây là một số trường hợp thường gặp trong kĩ thuật: * Độ cứng của thanh đồng chất tiết diện đều: ° Khi thanh chịu kéo nén bởi lực F (hình2.4) thì độ dãn của thanh là: Fl l ES Trong đó: E: mô đun đàn hồi của vật liệu; S: tiết diện ngang của vật liệu. ' ES Từ đó: F l C l l z Nếu coi thanh như là một lò xo thì độ cứng chống kéo nén của thanh là: ES C (2-6) z l Hình 2.4 - Thanh đàn hổi chịu kéo Hình 2.5- Thanh tiết diện đều chịu xoắn nén °Khi thanh chịu xoắn bởi momen M x (hình 2-5) ta tính được góc xoắn tại tiết diện cách gốc một khoảng l: M l x Gl p Trong đó: G: mô đun trượt của vật; 25
16. l p : momen quán tính cực của tiết diện ngang. Từ đó: Gl M p C. l Gl Độ cứng chống xoắn của thành là C p C. (2-7) 0 l °Khi thanh là dầm công son chịu uốn bởi lực F (hình 2-6), ta tính độ võng ở đầu dầm: 1 Fl 3 f . 3 EI Trong đó: El là độ cứng chống uốn Từ đó: 3EI F . f C. f l 3 Độ cứng chống uốn ở đầu công son: 3EI C (2-8) l 3 Hình 2.6 - Công son chịu uốn Hình 2.7 - D ầm chịu uốn ° Khi thanh là dầm 2 gối chịu uốn bởi lực F có khoảng cách đến các gối là a va b (hình 2.7). Ta tính được độ võng tại điểm đặt lực: Fa 2b2 f 3EI(a b) 26
17. 3EI(a b) Từ đó: F f C f a 2b2 D Độ cứng của dầm tại điểm đặt lực: 3EI(a b) C (2-9) D a 2b2 Trường hợp lực đặt giữa dầm, thay l = (a+b) = 2a = 2b 48EI Ta được: C D l 3 * Độ cứng tổ hợp của các lò xo: - Trường hợp tổ hợp các lò xo mắc song song, tat hay các lò xo có độ cứng C1, C2, Cn bằng một lò xo có độ cứng Css. Hình 2.8- Lò xo mắc song song Do các lò xo có độ nhún bằng nhau: f1 = f2 = .= fn = fss F F F F Hay 1 2 n ss C1 C2 Cn Css Lấy tổng các tử số và các mẫu số của n phân số đầu ta được: F F  i ss  Ci Css n n Nhưng vì F Fi nên suy ra Css Ci (2-10) i 1 i 1 27
18. - Trong trường hợp các lo xo mắc nối tiếp, ta thay tổ hợp các lò xo có độ cứng C1, C2, Cn bằng một lò xo có độ cứng Cnt. Bởi vì độ dãn của lò xo tương đương bằng tổng độ dãn của các lò xo thành phần: f1 + f2 + .+ fn = fnt và lực tác động lên các lò xo là như nhau nên: F F F F C1 C2 Cn Cnt 1 n 1 Từ đó:  (2-11) Cnt i 1 Cn Hình 2.9: Lò xo mắc nối tiếp Hình 2.10 Ví dụ: Một hệ dao động tạo bởi một vật có khối lượng m mắc vào một dầm 2 gối chịu uốn ở điểm giữa và một lò xo có độ cứng C (hình 2.10). +Nếu theo sơ đồ 1 thì dầm và lo xo ghép song song. Ta tính được: 48EI Ctd = Clx + CD = C lx l 3 + Nếu theo sơ đồ 2 thì dầm và lò xo ghép nối tiếp. 28
19. Ta có: 1 1 1 Ctd Clx CD Ta được: ClxCD 48EIClx Ctd 3 Clx cD Clxl 48EI c. Giảm chấn: đại diện cho các mối liên kết tiêu hao năng lượng làm giảm dao động như các loại giảm chấn ma sát, giảm chấn thủy lực, các loại ma sát và sức cản sinh ra khi vật chuyển động. Đồ thị biểu diễn quan hệ của lực cản với tốc độ gọi là đặc tính của giảm chấn: dz F f ( ) f (V ) [N] (2-12) c dt Đạo hàm của đường đặc tính này tại một điểm gọi là hệ số cản của giảm chấn: dF k c [Ns/m] (2-13) dV - Các giảm chấn thủy lực: thường có lực cản tỉ lệ bậc nhất với tốc độ nên đặc tính của chúng là tuyến tính như hình 2.11a. dz Fc = k1 [N] (2-14) dt Hệ số cản của loại giảm chấn này là hằng số: k1 = tgα = const [Ns/m] (2-15) 29
20. Hình 2.11 a- Đặc tính và hệ số cản của giảm chấn TL; b-Đồ thị công cản của giảm chấn TL; c-Sơ đồ máy thử giảm chấn TL. Trên máy thử giảm chấn thủy lực (hình 2-11c) người ta dẫn động giảm chấn này bằng một dao động điều hòa Z= Z0 cost tạo ra từ cơ cấu tay quay thanh truyền. dz Do V Z sin(t) nên F kV kZ sin(t) dt 0 c 0 Thay giá trị của sin(t) ta được: Z 2 Fc = kZ0 1 ( ) Z 0 2 2 Z Fc Hay là: 1 (2-16) Z0 kZ 0 Ở đây k,  , Z 0 là những hằng số. Như vậy quan hệ giữa lực cản và chuyển vị gọi là đồ thị công cản của giảm chấn thủy lực trong một chu kỳ là hình ellipse (hình 2.11b). Diện tích của ellipse này là công của lực cản tiêu hao trong một chu kỳ. 2 A krZ0 (2-17) Khi thử nghiệm giảm chấn thủy lực, máy thử sẽ vẽ cho ta đặc tính hình ellipse này. Dựa vào những thông số đã biết của máy thử và tỉ lệ các trục của đặc 30
21. tính thu được, ta có thể tính ra được hệ số cản k và công cản A của giảm chấn đang thử sau một chu kỳ và kết luận được về chất lượng của giảm chấn. - Các giảm chấn ma sát: có lực cản là các lực ma sát, các lực ma sát này thường là hằng số và chỉ phụ thuộc hướng của vận tốc: N Khi V 0 Fms = (2-18) N Khi V 0 Do đó đặc tính của giảm chấn ma sát là 2 nửa đường thẳng song song với trục V và nằm ở góc phần tư thứ hai và thứ tư (hình 2.12a). Đồ thị công cản của giảm chấn ma sát hình chữ nhật như hình 2.12b. Hình 2.12 a- Đặc tính của giảm chấn ma sát b- Đồ thị công cản của giảm chấn ma sát. d. Lực kích thích: là những lực gây nên dao động của vật, nó có thể tác dụng theo những qui luật khác nhau: - Kích thích một lần: Lực kích thích F có thể chỉ xuất hiện một lần duy nhất làm cho vật dao động rồi thôi. Sau đó vật tự dao động và trong quá trình dao động đó không có sự tham gia của lực kích thích. Dao động của vật lúc này gọi là dao động tự do. - Kích thích đều đặn, liên tục: theo một qui luật nhất định trong suốt quá trình vật dao động, tạo cho vật những dao động cưỡng bức. 31
22. * Nếu qui luật của lực kích thích thay đổi theo hình sin: F F0 cos(t ) (2-19) Ta gọi là kích thích điều hòa. * Nếu qui luật của lực kích thích thay đổi một cách tuần hoàn ta có thể phân tích thành tổng của những hàm kích thích điều hòa bằng công thức Fourier. * Nếu lực F tác dụng cách quãng, cứ sau một thời gian T (sau một chu kỳ) lại tác dụng một lần trong thời gian rất ngắn, ta gọi là kích thích xung. - Kích thích ngẫu nhiên: Nếu qui luật kích thích là kết quả ngẫu nhiên thu được bằng phép đo, ta có quá trình kích thích ngẫu nhiên: F= (t) (2-20) Hình 2.13 Các qui luật biến đổi của lực kích thích a- Kích thích điều hòa b- Kích thích xung c- Kích thích ngẫu nhiên Trong khuôn khổ của giáo trình này, chúng ta chỉ quan tâm đến những hệ dao động có kích thích là hàm điều hòa dạng (2-19) vì những kích thích tuần hoàn cũng có thể phân tích ra tổng của những hàm số có dạng này. 3. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG Chúng ta có thể thành lập PTDĐ dựa trên sự cân bằng lực hay dựa trên phương trình Lagrange loại II. Cho dù sử dụng phương pháp nào thì kết quả PTDĐ thu được cũng giống nhau. Giả sử ta thành lập PTDĐ của vật có khối lượng m trong mô hình một bậc tự do đơn giản nhất như hình vẽ 2.2 với các đặc tính của lò xo và giảm chấn đều là 32
23. tuyến tính: - Lò xo có độ cứng : C [N/m] = const, - Hệ số cản của giảm chấn: K [Ns/m] = const a. Sử dụng phương trình cân bằng lực: Chọn vị trí cân bằng Z=0 là vị trí trọng tâm của vật khi lò xo chịu độ nhún tĩnh. Khi vật có chuyển vị Z ra khỏi vị trí cân bằng sẽ có các lực tác dụng: Hình 2.14- Các lực tác dụng vào vật dao động * Lực quán tính: d 2Z Fqt = -m (2-21) dt 2 * Lực cản của giảm chấn: dz Fc = - K (2-22) dt * Lực hồi vị của lò xo: Flx = - CZ (2-23) * Lực kích thích điều hòa: F F0 cos(t) (2-24) 33
24. Xét cân bằng của vật, theo định luật Newton ta viết phương trình cân bằng lực hay còn gọi là PTDĐ: d 2 z dZ m K CZ F (2-25) dt 2 dt b. Sử dụng phương trình Lagrange loại II Cũng chọn vị trí cân bằng như trên, tại thời điểm t khi vật có chuyển vị Z. Biểu thức động năng của hệ là: 1 T = mZ 2 2 Biểu thức thế năng của hệ là: 1  CZ 2 2 Biểu thức hàm hao tán có dạng: 1  K.Z 2 2 Ta tính được các đạo hàm riêng: T T mZ 0 Z Z   CZ KZ Z dZ Thay vào phương trình Lagrange loại II d T T   ( ) Q dt q q q q d m Z 0 CZ KZ F dt Ta được PTDĐ có dạng giống như phương trình (2-2): mZ KZ CZ F PTDĐ là một phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất có hệ số hằng số. Ta cần giải phương trình này để tìm qui luật dao động Z= Z(t) và các thông số của nó. 34
25. Như ta đã biết trong toán học, nghiệm của phương trình này là nghiệm của hai thành phần nghiệm, mỗi thành phần biểu diễn như một loại dao động: + Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất có vế phải bằng không (F=0) biểu diễn dao động không có lực kích thích, đó là dao động tự do. + Nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất có vế phải khác không, biểu diễn dao động có lực kích thích gọi là dao động cưỡng bức. Sau đây, chúng ta xét kỹ từng loại dao động thông qua các nghiệm đó. II. DAO ĐỘNG TỰ DO KHÔNG CÓ LỰC CẢN Trước tiên ta xét một mô hình dao động tự do đơn giản nhất, đó là trường hợp dao động tự do không có lực cản. 1. MÔ HÌNH Mô hình dao động tự do không có lực cản của hệ một bậc tự do là một vật có khối lượng m đặt trên một lò xo có độ cứng C (hình 2.15). Hình 2.15 Mô hình dao động tự do không có lực cản 2. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG Ta cũng chọn vị trí Z= 0 là vị trí cân bằng tĩnh như trên. Khi vật có chuyển 35