Bài giảng Sức bền vật liệu - Lê Đức Thanh

Nội dung text: Bài giảng Sức bền vật liệu - Lê Đức Thanh

1. GV: Lê Đức Thanh 2.2 CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC - CÁCH XÁC ĐỊNH 1- Các thành phần nội lực: Như đã biết, đối tượng khảo sát của SBVL là những chi tiết dạng thanh, đặc trưng bởi mặt cắt ngang (hay còn gọi là tiết diện) và trục thanh. P P 1 P 1 Mx P 1 6 x Mz x Qx P P 2 P 5 P 2 2 A z A B A z Nz P 3 P My 4 P P 3 3 Qy y y H.2.4 Các thành phần nội lực Gọi hợp lực của các nội lực phân bố trên mặt cắt ngang của thanh là R. R có điểm đặt và phương chiều chưa biết . ⎧Lực R Dời R về trọng tâm O của mặt cắt ngang ⇒ ⎨ có phương bất kỳ ⎩Mômen M Đặt một hệ trục tọa độ Descartes vuông góc ngay tại trọng tâm mặt cắt ngang, Oxyz, với trục z trùng pháp tuyến của mặt cắt, còn hai trục x, y nằm trong mặt cắt ngang. Khi đó, có thể phân tích R ra ba thành phần theo ba trục: + Nz, theo phương trục z ( ⊥ mặt cắt ngang) gọi là lực dọc + Qx theo phương trục x (nằm trong mặt cắt ngang) gọi là lực cắt. + Qy theo phương trục y (nằm trong mặt cắt ngang) gọi là lực cắt. Mômen M cũng được phân ra ba thành phần : + Mômen Mx quay quanh trục x gọi là mômen uốn . + Mômen My quay quanh trục y gọi là mômen uốn . + Mômen Mz quay quanh trục z gọi là mômen xoắn. Sáu thành phần này được gọi là các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang (H.2.4) . Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 3
2. GV: Lê Đức Thanh 2 Cách xác định: Sáu thành phần nội lực trên một mặt cắt ngang được xác định từ sáu phương trình cân bằng độc lập của phần vật thể được tách ra, trên đó có tác dụng của ngoại lực ban đầu PI và các nội lực. Các phương trình cân bằng hình chiếu các lực trên các trục tọa độ: n ∑ Z = 0 ⇔ N z +∑ Piz = 0 ⇒ N z i=1 n ∑Y = 0 ⇔ Qy + ∑ Piy = 0 ⇒ Qy (2.2) i=1 n ∑ Z = 0 ⇔ Qx + ∑ Pix = 0 ⇒ Qx i=1 trong đó: Pix, Piy, Piz - là hình chiếu của lực Pi xuống các trục x, y, z. Các phương trình cân bằng mômen đối với các trục tọa độ ta có: n ∑ M /Ox ⇔ M x + ∑ mx (Pi ) = 0 ⇒ M x i=1 n ∑ M /Oy ⇔ M y + ∑my (Pi ) = 0 ⇒ M y (2.3) i=1 n ∑ M /Oz ⇔ M z + ∑mz (Pi ) = 0 ⇒ M z i=1 vớiù:mx(Pi), my(Pi), mz(Pi) - các mômen của các lực Pi đối với các trục x,y, z. 3-Liên hệ giữa nội lực và ứng suất: Các thành phần nội lực liên hệ với các thành phần ứng suất như sau: - Lực dọc là tổng các ứng suất pháp - Lực cắt là tổng các ứng suất tiếp cùng phương với nó - Mômen uốn là tổng các mômen gây ra bởi các ứng suất đối với trục x hoặc y - Mômen xoắn là tổng các mômen của các ứng suất tiếp đối với trục z Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 4
3. GV: Lê Đức Thanh 2-3 BÀI TÓAN PHẲNG: Trường hợp bài toán phẳng ( ngoại lực nằm trong một mặt phẳng ( thí dụ mặt phẳng yz)), chỉ có ba thành phần nội lực nằm trong mặt phẳng yz : Nz, Qy, Mx. ♦ Qui ước dấu (H.2.5) P1 P4 Qy > 0 M > 0 - Lực dọc Nz > 0 khi gây kéo X MX > 0 P2 O O P5 N > 0 đoạn thanh đang xét (có chiều A z Nz > 0 B P3 hướng ra ngoài mặt cắt) Qy > 0 P6 y y - Lực cắt Qy > 0 khi làm quay đoạn thanh đang xét theo chiều kim Hình 2.5: Chiều dương đồng hồ. các thành phần nội - Mômen uốn Mx > 0 khi căng thớ dưới ( thớ y dương ). Mx > 0 Mx > 0 Mx 0 , Mômen M x < 0 ♦ Cách xác định: Dùng 3 phương trình cân bằng tỉnh học khi xét cân bằng phần A) hay phần B) Từ phương trình Σ Z = 0 ⇒ N z Từ phương trình Σ Y = 0 ⇒ Qy (2.4) Từ phương trình Σ M/O = 0 ⇒ Mx Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 5
4. GV: Lê Đức Thanh Thí dụ 2.1 Xác định các trị số nội lực tại mặt cắt 1-1 của thanh AB, với : 2 q = 10 kN/m; a = 1m; Mo = 2qa . ( H.2.6) q P = M = 1 2 A 2qa B k 2qa H A 1 1,5a a a V A V B P = q M A 2qa N Q V A 1,5a H. 2.6 Giải. Tính phản lực: Giải phóng các liên kết và thay vào đó bằng các phản lực liên kết VA, HA, VB. Viết các phương trình cân bằng tỉnh học khi xét cân bằng thanh AB Σ Z = 0 ⇒ HA = 0 Σ Y = 0 ⇒ VA +VB - qa – P = 0 a M = 0 ⇒ qa × + P x a - M −V x2a = 0 ∑ A 2 0 B 11 1 ⇒ HA = 0; V = qa = 27,5 kN ; V = qa = 2,5 kN A 4 B 4 Tính nội lực: Mặt cắt 1-1 chia thanh làm hai phần. Xét sự cân bằng của phần bên trái (H.2.6) : ∑Z = 0 ⇒ N = 0 1 Y = 0 ⇒ V − qa − P − Q = 0 ⇒ Q = − qa = − 2,5 kN ∑ A 4 M a 17 2 ∑ = 0 ⇒ M = VA ×1,5a − qa × a − 2qa × = qa = 21,25 kNm O1 2 8 Nếu xét cân bằng của phần phải ta cũng tìm được các kết quả như trên. Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 6
5. GV: Lê Đức Thanh 2.4 BIỂU ĐỒ NỘI LỰC ( BÀI TOÁN PHẲNG ) 1. Định nghĩa: Thường các nội lực trên các mặt cắt ngang của một thanh không giống nhau. Biểu đồ nội lực (BĐNL) là đồ thị biểu diễn sự biến thiên của các nội lực theo vị trí của các mặt cắt ngang. Hay gọi là măït cắt biến thiên. Nhờ vào BĐNL có thể xác định vị trí mặt cắt có nội lực lớn nhất và trị số nội lực ấy. 2. Cách vẽ BĐNL- Phương pháp giải tích: Để vẽ biểu đồ nội lực ta tính nội lực trên mặt cắt cắt ngang ở một vị trí bất kỳ có hoành độ z so với một gốc hoành độ nào đó mà ta chọn trước. Mặt cắt ngang chia thanh ra thành 2 phần. Xét sự cân bằng của một phần (trái, hay phải) , viết biểu thức giải tích của nội lực theo z Vẽ đường biểu diễn trên hệ trục toạ độ có trục hoành song song với trục thanh (còn gọi là đường chuẩn), tung độ của biểu đồ nội lực sẽ được diễn tả bởi các đoạn thẳng vuông góc các đường chuẩn. Thí dụ 2.2- Vẽ BĐNL của dầm mút thừa (H.2.7) Giải z 1 P Xét mặt cắt ngang 1-1 có hoành độ K A B z so với gốc A, ta có ( 0 ≤ z ≤ l ) Biểu thức giải tích của lực cắt Q 1 P l K và mômen uốn tại mặt cắt 1-1 N B M được xác định từ việc xét cân bằng 1 p phần phải của thanh: Q z ∑Z = 0 ⇒ N = 0 Y = 0 ⇒ Q − P = 0 ⇒ Q = P ∑ y y M Pl z M ∑ = 0 ⇒M x + P(l − z) = 0 ⇒ M x = −P(l − z) O1 M Hình 2.7 Cho z biến thiên từ 0 đến l, ta sẽ được biểu đồ nội lực như trên H.2.7. Qui ước:+Biểu đồ lực cắt Qy tung độ dương vẽ phía trên trục hoành. +Biểu đồ mômen uốn Mx tung độ dương vẽ phía dưới trục hoành. Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 7
6. GV: Lê Đức Thanh (Tung độ của biểu đồ mômen luôn ở về phía thớ căng của thanh). Thí dụ 2.3 – Vẽ BĐNL của dầm đơn giản chịu tải phân bố đều q (H.2.8a). Giải 1 q Phản lực: Bỏ các liên kết tại A và B, A H = A B thay bằng các phản lực ( H.2.8a). a z K 0A V ql 1 l VB ql ) 2 x ∑Z = 0 ⇒ HA =0. 1 M 2 A = ql b A z Do đối xứng ⇒ VA = VB = V z 1 y N z 2 Q ) y y Nội lực: Chọn trục hoành như trên Q ql + H.2.8b. Xét mặt cắt ngang 1-1 tại K có c 2 2 ql ql 2 hoành độ là z, ( 0 ≤ z ≤ l ). Mặt cắt chia ) 8 d Mx thanh làm hai phần. ) H.2.8 Xét cân bằng của phần bên trái AK (H.2.8b) Từ các phương trình cân bằng ta suy ra: ⎧ ⎪∑ Z = 0 ⇒ N = 0 ⎪ z ⎪ ql l ⎨∑Y = 0 ⇒ Qy = − qz = q( − z) ⎪ 2 2 ⎪ ql qz 2 qz ⎪∑ M /O1 = 0 ⇒ M x = z − = (l − z) ⎩ 2 2 2 Qy là hàm bậc nhất theo z, Mx là hàm bậc 2 theo z. Cho z biến thiên từ 0 đến l ta vẽ được các biểu đồ nội lực (H2.8). Cụ thể: +Khi z=0 ⇒ Qy = ql/2 , Mx = 0 +Khi z=l ⇒ Qy = -ql/2 , Mx = 0 +Tìm Mx, cực trị bằng cách cho đạo hàm dMx / dz =0, ⎧ ql l − qz =0 ⇒ z = ⎪ 2 2 dMx / dz =0 ⇔ ⎨ ql 2 ⎪⇒ M = ⎩⎪ x,maxõ 8 Qua các BĐNL, ta nhận thấy: Lực cắt Qy có giá trị lớn nhất ở mặt cắt sát gối tựa, Mômen uốn Mx có giá trị cực đại ở giữa dầm. Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 8
7. GV: Lê Đức Thanh Thí dụ 2.4 Vẽ BĐNL của dầm đơn giản chịu lực tập trung P ( H.2.9a) . Giải Phản lực: Các thành phần phản lực tại các gối tựa là: Pb Pa H = 0 ; V = ; V = A A l B l Nội lực : Vì tải trọng có phương vuông góc với trục thanh nên lực dọc Nz trên mọi mặt cắt ngang có trị số bằng không. Phân đoạn thanh: Vì tính liên tục của các hàm số giải tích biểu diển các nội lực nên phải tính nội lực trong từng đoạn của thanh; trong mỗi đoạn phải không có sự thay đổi đột ngột của ngoại lực . ♦ Đoạn AC- Xét mặt cắt 1-1 tại điểm K1 trong đoạn AC và cách gốc A một đoạn z, ( 0 ≤ z ≤ a ). Khảo sát cân bằng của phần bên trái ta được các biểu thức giải tích của nội lực: ⎧ Pb P(l − a) Q = V = = ⎪ y A l l ⎨ (a) Pb P(l − a) ⎪M = V .z = z = z ⎩⎪ x A l l P a b 1 K1 2 K2 ♦ Đoạn CB- Xét mặt cắt 2-2 tại điểm K2 A B a) z 2 Trong đoạn CB cách gốc A một đoạn z , ( a 1 z l VA VB 1 M x ≤ z ≤ l ). Tính nội lực trên mặt cắt 2-2 bằng M x b 1 l -z c z Q y VB ) cách xét phần bên phải (đoạn K2B). Ta ) VA Q y P được: Q y d + bl Pa ) Pa Q = −V = − Pa - y B l l (b) b (b)l Pa e) Mx = VB (l − z) = (l − z) l M x Từ (a) và (b) dễ dàng vẽ được các biểu H. 2.9 đồ nội lực như H.2.9d,e. Trường hợp đặc biệt : Nếu a=b= L/2, khi đó mômen cực đại xảy ra tại giữa dầm và có giá trị: Mmax = PL/4 Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 9
8. GV: Lê Đức Thanh Thí dụ 2.5 Vẽ BĐNL của dầm đơn giản chịu tác dụng của mômen tập trung Mo (H.2.10a.) Giải Phản lực: Xét cân bằng của toàn dầm ABC ⇒ các phản lực liên kết tại M A và B là: H = 0 ; V = V = o , chiều phản lực như H.2.10a. A A B l Nội lực: a Đoạn AC: Dùng mặt cắt 1-1 cách gốc A Mo 1 K1 2 K2 A B một đoạn z1 ;(0 ≤ z1 ≤ a ).Xét cân bằng của z1 C a) 2 1 z2 l –z2 đoạn AK1 bên trái mặt cắt K1 ⇒ các nội lực V A M VB ⎧ M M x1 x2 Q = −V = − o 1 2 ⎪ y1 A K1 ⎪ l A c như sau ⎨ (c) b) 1 2 M z1 ) o VB ⎪M = −V z = − z Q y l – z2 x1 A 1 1 VA 1 Q y ⎩⎪ l 2 z Đoạn CB: Dùng mặt cắt 2-2 trong đoạn d) Qy - Mo / l M CB cách gốc A một đoạn z2 với (a ≤ z2 ≤ l ) . o a l e) Xét cân bằng của phần bên phải K2B ⇒ các Mx M biểu thức nội lực trên mặt cắt 2-2 là: o (l - a) l ⎧ M Q = −V = − o H. 2.10 ⎪ y2 B l ⎨ (d) M ⎪M = V (l − z ) = o (l − z ) Mo ⎪ x2 B 2 2 B ⎩ l a) l BĐNL được vẽ từ các biểu thức (c), (d) của nội M M V = o V = o A l B l lực trong hai đoạn (H.2.10d-e). b Q - ) y Mo / l Trường hợp đặc biệt: Mômen tập trung Mo đặt tại mặt cắt sát gối tựa A (H.2.11). c M ) x Mo Qy và Mx sẽ được xác định bởi (d) ứng với H. 2.11 a = 0. BĐNL vẽ như H.2.11 Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 10
9. GV: Lê Đức Thanh Các nhận xét : - Nơi nào có lực tập trung, biểu đồ lực cắt nơi đó có bước nhảy. Trị số của bước nhảy bằng trị số lực tập trung. Chiều bước nhảy theo chiều lực tập trung nếu ta vẽ từ trái sang phải - Nơi nào có mômen tập trung, biểu đồ mômen uốn nơi đó có bước nhảy. Trị số của bước nhảy bằng trị số mômen tập trung. Chiều bước nhảy theo chiều mômen tập trung nếu ta vẽ từ trái sang phải Kiểm chứng các nhận xét : P0 1 2 M0 P0 Q1 M K 2 M0 M 1 Q z Δz 2 Δz 1 2 a) H. 2.12 b) Khảo sát đoạn Δz bao quanh một điểm K có tác dụng lực tập trung P0 , mômen tập trung M0 ( H.2.12b). Viết các phương trình cân bằng ⇒ ∑Y = 0 ⇒ Q1 + P0 – Q2 = 0 ⇒ Q2 – Q1 = P0 (i) Δz Δz ∑M/K = 0 ⇒ M1 +M0 - M2 + Q1 - Q2 =0 2 2 Δz Δz Bỏ qua vô cùng bé bậc một Q1 , Q2 , ⇒ M2 - M1 = M0 (ii) 2 2 Biểu thức (i) đã kiểm chứng nhận xét về bước nhảy của biểu đồ lực cắt. Biểu thức (ii) đã kiểm chứng nhận xét về bước nhảy của biểu đồ mômen. Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 11
10. GV: Lê Đức Thanh 2.4. LIÊN HỆ VI PHÂN GIỮA NỘI LỰC VÀ TẢI TRỌNG PHÂN BỐ TRONG THANH THẲNG Xét một thanh chịu tải trọng bất kỳ (H.2.13a). Tải trọng tác dụng trên thanh này là lực phân bố theo chiều dài có cường độ q(z) có chiều dương hướng lên (H.2.13b). 1 2 q(z) M q(z) Q o y M+x xd M M x Q + dQ z dz yy dz 1 2 a) H. 2.13 b) Khảo sát đoạn thanh vi phân dz, giới hạn bởi hai mặt cắt 1-1 và 2-2 (H.2.13b). Nội lực trên mặt cắt 1-1 là Qy và Mx. Nội lực trên mặt cắt 2-2 so với 1-1 đã thay đổi một lượng vi phân và trở thành Qy + dQy; Mx + dMx . Vì dz là rất bé nên có thể xem tải trọng là phân bố đều trên đoạn dz. Viết các phương trình cân bằng: 1-Tổng hình chiếu các lực theo phương đứng ∑Y = 0 ⇒ Qy + q(z)dz – (Qy + dQy) = 0 dQ ⇒ q(z) = y (2.4) dz Đạo hàm của lực cắt bằng cường độ của lực phân bố vuông góc với trục thanh. 2- Tổng mômen của các lực đối với trọng tâm mặt cắt 2-2 ta được: dz ∑M/o2 = 0 ⇒ Q dz + q(z) ⋅ dz ⋅ + M − (M + dM ) = 0 y 2 x x x dz2 Bỏ qua lượng vô cùng bé bậc hai q(z) ⋅ ⇒ 2 dM x = Q (2.5) dz y Đạo hàm của mômen uốn tại một mặt cắt bằng lực cắt tại mặt cắt đó d2M Từ (2.4) và (2.5) ⇒ x = q(z) (2.6) dz2 nghĩa là: Đạo hàm bậc hai của mômen uốn tại một điểm chính là bằng cường độ của tải trọng phân bố tại điểm đó. Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 12
11. GV: Lê Đức Thanh Thí dụ 2.6 Vẽ BĐNL cho dầm 1 q đơn giản AB chịu tác dụng của tải q(z) o A B phân bố bậc nhất như H.2.14. a) 1 z 1 l VB VB = qo l Giải VA 3 M • Phản lực: Giải phóng liên z x kết, đặt các phản lực tương ứng ở b) 1 VA =o q 0 l Qy 6 qo l các gối tựa, xét cân bằng của toàn 3 thanh, + qol l 3 ∑X =0 ⇒ HA = 0, 6 1 l 1 Mmaz ∑ M B = 0⇒ VAl = × qol × ⇒ VA = qol 2 3 6 1 Y = 0 ⇒ V = q l ∑ B 3 o H.2.14 • Nội lực: Cường độ của lực z phân bố ở mặt cắt 1-1 cách gốc A một đoạn z cho bởi: q(z)= q0 l Dùng mặt cắt 1-1 và xét sự cân bằng của phần bên trái (H.2.14b). z q l q z2 ∑Y = 0 ⇒ Q = V − q(z) = o − o (e) y A 2 6 2l 3 qol z z qol qoz ∑M/o1 = 0 ⇒ M = z − q(z) × × = z − (g) x 6 2 3 6 6l Từ (e) và (g) ta vẽ được biểu đồ lực cắt và mômen cho dầm đã cho. Các biểu đồ này có tính chất như sau: Biểu đồ lực cắt Qy có dạng bậc 2. Tại vị trí z = 0, q(z) = 0 nên ở đây biểu đồ Qy đạt cực trị: (Qy)z = 0 = Qmax = qol 6 Biểu đồ mômen uốn Mx có dạng bậc 3. Tại vị trí z = l 3 ; Qy = 0. Vậy tại đây Mx đạt cực trị: 2 qol (Mx ) l = Mmax = z= 9 3 3 Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 13
12. GV: Lê Đức Thanh Thí dụ 2.7 Vẽ BĐNL cho dầm chịu lực tổng quát (H.2.15) Giải Phản lực: Giải phóng liên kết, xét cân bằng P = 2qa q q toàn thanh, suy ra phản lực liên kết tại A và 1 2 3 M o= qa C là: A 2 1 B 2 C D V = 2qa VA = 2qa C HA = 0 , VA = 2qa; VC = 2qa a a a Nội lực: q q + a + Q a * Đoạn AB: Mặt cắt 1-1, gốc A (0 ≤ z ≤ a), y - 2 xét cân bằng phần trái q q a a2 • Mx M 2 ⎧Q1 = 2qa − qz z 1 q ⎪ 2 Q 2 ⎨ V = 1 2 a qz A 3 q ⎪M1 = 2qaz − 2qa 2 ⎩ 2 a H. 2.15 * Đoạn BC: Mặt cắt 2-2, gốc A (a ≤ z ≤ 2a) và xét cân bằng phần trái: M ⎧Q2 = − qa o ⎪ M2 ⎨ 3 M = − qaz + qa2 a ⎪ 2 VA Q ⎩ 2 z 2 * Đoạn CD: Mặt cắt 3-3, gốc A, (2a ≤ z ≤ 3a)ø xét cân bằng phần phải: Q3 q ⎧Q3 = q(3a − z) ⎪ 2 (2a ≤ z ≤ 3a) ⎨ (3a − z) M3 ⎪M = − q 3a – z ⎩ 3 2 Biểu đồ mômen và lực cắt vẽ như H.2.15. Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 14
13. GV: Lê Đức Thanh Thí dụ 2.8 Vẽ biểu đồ nội lực trong khung chịu tải trọng như trên H.2.16. q – 5 a qa qa + 2 2 qa 2 P = qa K2 B z2 C N q 2 5 + + Q q – 2 a K 3 3 3 a 2qa 1 K1 1 5 q z z 3 a) 2 b 1 a A D 5 ) 2 q 3 2 q 2 HA q a 2 a q a a B a V V 5 2 A D q qa 2 5 2 3 2 Hình 2.15 q a q 2 2 a 5 a M q 2 qa q a C parabol a e 5 q 2 5 a q 2 c d a H 16 ) ) Giải Tính phản lực liên kết Xét sự cân bằng của toàn khung dưới tác dụng của tải trọng ngoài và các phản lực liên kết ta suy ra: ∑Ngang = 0 ⇒ HA = 0 a 5 M = 0 ⇒ V × a + qa × + qa2 + qa × a = 0 → V = − qa ∑ D a 2 A 2 5 ∑Đứng = 0 ⇒ V + V = 0 ⇒ V = + qa ( Đúng chiều đã chọn ) A D D 2 Vậy chiều thật của VA ngược với chiều đã chọn Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 15
14. GV: Lê Đức Thanh Vẽ biểu đồ nội lực Đoạn AB: dùng mặt cắt 1-1 và xét cân bằng đoạn AK1 ta được: N 1 ⎧ 5 M1 N = qa ⎪ 1 Q 2 K 1 ⎪ 1 Q = 2qa − qz ⎨ 1 1 (0 ≤ z1 ≤ a) z 1 ⎪ 2 qz1 A ⎪M = 2qaz − 2q 5 ⎩⎪ 1 1 2 a 2 q a Đoạn BC: dùng mặt cắt 2-2 và xét cân bằng đoạn ABK2 ta được: 2 M q 2 K 2 N 2 a B z 2 Q 2 ⎧ ⎪N2 = qa ⎪ a ⎪ 5 ⎨Q2 = − qa (0 ≤ z2 ≤ a) ⎪ 2 ⎪ 5 5 M = qa2 − qaz ⎩⎪ 2 2 2 2 A 2q 5 q 2 a a Đoạn CD: dùng mặt cắt 3-3 và xét cân bằng DK3 N3 M 3 Q3 ⎧ 5 K3 N = − qa ⎪ 3 2 ⎪ Z3 ⎨Q3 = 0 (0 ≤ z3 ≤ a) ⎪M = 0 ⎪ 3 D ⎩ V = 5 q D 2 Kiểm tra sự cân bằng nút a Đối với khung, có thể kiểm tra kết quả bằng việc xét cân bằng các nút. Nếu tách nút ra khỏi hệ thì ta phải đặt vào nút các ngoại lực tập trung (nếu có) và các nội lực tại các mặt cắt, giá trị của chúng được lấy từ biểu đồ vừa vẽ. Sau khi đặt các lực trên, nếu tính đúng các nội lực ở các nút thì nút sẽ cân bằng, nghĩa là các phương trình cân bằng được thỏa mãn. Ngược lại, nếu các phương trình không thỏa mãn thì các nội lực tính sai. Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 16
15. GV: Lê Đức Thanh Cụ thể đối với khung đang xét, ta tách nút B và đặt vào đó mômen tập trung qa2 và các thành phần nội lực trên các đoạn thanh ngang và đứng như H.2.16d: - Tại mặt cắt trên thanh ngang có lực dọc +qa hướng ra ngoài mặt cắt, lực cắt 5 qa2 2 có chiều hướng lên và mômen 5 qa2 2 gây căng thớ dưới. - Tại mặt cắt trên thanh đứng có lực dọc + 5qa 2 hướng ra ngoài mặt cắt (hướng xuống) lực cắt +qa hướng từ phải sang trái và mômen 3qa2 2 gây ra căng thớ trong khung nên chiều quay có mũi tên hướng ra ngoài. Ta dễ dàng thấy các phương trình cân bằng thỏa mãn: ∑ X = 0 ; ∑ Y = 0 ; ∑ M/B = 0 Tương tự, tách nút C và đặt vào đó lực tập trung qa hướng từ trái sang phải và các thành phần nội lực trên các đoạn thanh ngang và đứng như H.2.16d. - Tại mặt cắt trên thanh ngang có lực dọc +qa hướng ra ngoài mặt cắt, lực cắt − 5qa 2 có khuynh hướng làm quay phần đoạn thanh đang xét ngược chiều kim đồng hồ nên có chiều hướng xuống, còn mômen thì bằng không. - Tại mặt cắt trên thanh thẳng đứng tồn tại lực dọc − 5qa 2 có chiều huớng vào mặt cắt (hướng lên) và không có lực cắt cũng như mômen. Ta dễ dàng thấy rằng các phương trình cân bằng được thỏa mãn: 5 5 X = − qa + qa = 0 ; Y = − qa + qa = 0 ; M B = 0 ∑ ∑ 2 2 ∑ Vậy các nút B và C đều cân bằng nghĩa là các hệ nội lực tại các nút đúng. Thí dụ 2.9 Vẽ BĐNL trong thanh cong (H.2.17) Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 17
16. GV: Lê Đức Thanh Giải Cắt thanh tại tiết diện P A P A 1 Q 1 2P 2P R M 1-1, xác định bởi góc ϕ (0 1 ϕ ϕ o R ≤ ϕ ≤ 90 ), xét cân bằng B N của phần trên dưới tác a) b Q max =2,236P dụng của các ngoại lực ) 2P 2.12P 0,7P PR và các thành phần nội lực P - 1,7PR ϕo đặt theo chiều dương quy ϕo ϕo + o 45 ước như H.2.17b. P 2P N Q M 3PR c d e) Phương trình cân ) ) H. 2.17 bằng hình chiếu các lực theo phương pháp tuyến với mặt cắt cho: N = 2Psinϕ – Pcosϕ = P(2sinϕ – cosϕ) (a) Phương trình cân bằng hình chiếu các lực theo phương đường kính cho: Q = 2Pcosϕ + Psinϕ = P(2cosϕ + sinϕ) (b) Phương trình cân bằng của các mômen các lực đối với trọng tâm mặt cắt dẫn đến: M = – 2PRsinϕ – PR(1 – cosϕ) = – PR(2sinϕ + 1 – cosϕ) (c) Cho ϕ một vài trị số đặc biệt và tính các trị số nội lực tương ứng, ta vẽ được biểu đồ. dQ Lực cắt đạt cực trị khi y = 0, nghĩa là khi: dϕ o -2sinϕ + cosϕ = 0 ⇒ tgϕ = 0,5 ⇒ ϕ = ϕo = 26 56’ sinϕo = 0,4472 ; cosϕo = 0,8944 Ta có bảng nội lực sau: o 0 ϕ 0 ϕo 45 90 N – P 0 0,7 P 2 P Q 2 P 2,236 P 2,12 P +P M 0 - PR -1,7 PR -3PR Khi vẽ cần chú ý đặt các tung độ theo phương vuông góc với trục thanh, tức là theo phương bán kính như trên H.2.17c,d,e. Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 18