Bài giảng Phân tích và thiết kế giải thuật - Chương 6: Giải thuật quay lui

Nội dung text: Bài giảng Phân tích và thiết kế giải thuật - Chương 6: Giải thuật quay lui

1. Thủ tục đệ quy được khởi động bằng lệnh gọi với tọa độ khởi đầu x0, y0 , từ đó chuyến đi bắt đầu. H[x0,y0]:= 1; try(2, x0, y0, q) Hình 6.3.1 trình bày một lời giải đạt được với vị trí với n = 5. 1 6 15 10 21 14 9 20 5 16 19 2 7 22 11 8 13 24 17 4 25 18 3 12 23 11
2. Từ thí dụ trên ta đi đến với một kiểu “giải quyết vấn đề” mới: Đặc điểm chính là “bước hướng về lời giải đầy đủ và ghi lại thông tin về bước này mà sau đó nó có thể bị tháo gỡ và xóa đi khi phát hiện rằng bước này đã không dẫn đến lời giải đầy đủ, tức là một bước đi dẫn đến “tình thế bế tắc”(dead-end). (Hành vi này được gọi là quay lui - bactracking.) 12
3. Khuôn mẫu tổng quát của giải thuật quay lui procedure try; begin intialize selection of candidates; repeat select next; if acceptable then begin record it; if solution incomplete then begin try next step; (6.3.3) if not successful then cancel recording end end until successful  no more candidates end 13
4. Nếu tại mỗi procedure try (i: integer); var k : integer; bước, số ứng begin k:=0; viên phải thử là repeat cố định thì kiểu k:=k+1; select k-th candidate; mẫu trên có thể if acceptable then biến đổi như : begin record it; if i<n then begin try (i+1); (6.3.4) Thủ tục được gọi if not successful then bằng lệnh gọi cancel recording end try(1). end until successful  (k=m) end 14
5. Bài toán 8 con hậu Bài toán này đã được C.F. Gauss khảo sát năm 1850, nhưng ông ta không hoàn toàn giải quyết được. “Tám con hậu được đặt vào bàn cờ sao cho không có con hậu nào có thể tấn công con hậu nào”. Dùng khuôn mẫu ở hình 6.3.1, ta sẽ có được một thủ tục sau cho bài toán 8 con hậu: 15
6. procedure try (i: integer); begin initialize selection of positions for i-th queen; repeat make next selection; if safe then begin setqueen; if i < 8 then begin try (i + 1); if not successful then remove queen end end until successful  no more positions end 16
7. Luật cờ: Một con hậu có thể tấn công các con hậu khác nằm trên cùng một hàng, cùng một cột hay là cùng đường chéo trên bàn cờ. Cách biểu diễn dữ liệu Làm cách nào để diễn tả 8 con hậu trên bàn cờ? var x: array[1 8] of integer; a: array[1 8] of Boolean; b: array[b1 b2] of Boolean; c: array[c1 c2] of Boolean; với x[i] chỉ vị trí của con hậu trên cột thứ i; a[j] cho biết không có con hậu trên hàng thứ j; b[k] cho biết không có con hậu trên đường chéo  thứ k; c[k] cho biết không có con hậu trên đường chéo thứ k. 17
8. Việc chọn trị cho các mốc b1, b2, c1, c2 được xác định bởi cách mà các chỉ số của các mảng b và c được tính. Hãy chú ý rằng trên cùng một đường chéo chiều  tất cả các ô sẽ có cùng giá trị của tổng hai tọa độ i +j, và trên cùng một đường chép chiều diagonal, tất cả các ô sẽ có cùng giá trị của hiệu hai tọa độ (i – j ). Như vậy, phát biểu setqueen được tinh chế như sau: x[i]:=j; a[j]:=false; b[i+j]:=false;c[i-j]:=false; Phát biểu removequeen được chi tiết hóa như sau: a[j] = true; b[i+j] = true ; c[i-j] := true Điều kiện safe được diễn tả như sau: a[j]  b[i+j]  c[i-j] 18
9. program eightqueeen1(output); begin {find one solution to eight queens x[i]:=j; problem} a[j]:=false; b[i+j]:=false; var i : integer; q: boolean; c[i-j]:=false; a : array [1 8] of boolean; if i<8 then b : array [2 16] of boolean; begin c : array [–7 7] of boolean; try (i+1, q); x : array [1 8] of integer; if  q then procedure try(i: integer; var q: begin boolean); a[j]:=true; b[i+j]:=true; var j: integer; c[i-j]:=true begin end j:=0; end repeat else q:=true j:=j+1; q:=false; end if a[j]  b[i+j]  c[i-j] then until q  (j=8) end {try}; 19
10. begin for i:= 1 to 8 do a[i]:=true; for i:= 2 to 16 do b[i]:=true; for i:= –7 to 7 do c[i]:=true; try (1,q); if q then for i:=1 to 8 do write (x[i]:4); writeln end Một lời giải của bài toán 8 con hậu được cho ở hình vẽ sau: 20
11. 1 H 2 H 3 H 4 H 5 H 6 H 7 H 8 H 21
12. Sự mở rộng: Tìm tất cả các lời giải Sự mở rộng là tìm không chỉ một lời giải mà tất cả những lời giải của bài toán đã cho. Phương pháp: Một khi một lời giải được tìm thấy và ghi lại, ta tiếp tục xét ứng viên kế trong quá trình chọn ứng viên một cách có hệ thống. Khuôn mẫu tổng quát được dẫn xuất từ (6.3.4) và được trình bày như sau: 22
13. procedure try(i: integer); var k: integer; begin for k:=1 to m do begin select k-th candidate; if acceptable then begin record it; if i<n then try (i+1) else print solution; cancel recording end end end 23
14. Trong giải thuật mở rộng, để đơn giản hóa điều kiện dừng của quá trình chọn, phát biểu repeat được thay thế bằng phát biểu for program eightqueens(output); procedure try (i:integer); var i: integer; var j: integer; a: array [1 8] of boolean; begin b: array [2 16] of boolean; for j:=1 to 8 do c: array [–7 7] of boolean; if a[j]  b[i+j]  c[i-j] then x: array [1 8] of integer; begin procedure print; x[i]:=j; var k : integer; a[j]:=false; b[i+j]:= false; begin c[i-j]:=false; for k : 1 to 8 do write(x[k]:4); if i < 8 then try(i+1) else print; writeln a[j]:=true; b[i+j]:= true; end {print}; c[i-j]:= true; end end {try}; 24
15. begin for i:= 1 to 8 do a[i]:=true; for i:= 2 to 16 do b[i]:=true; for i:= –7 to 7 do c[i]:=true; try(1); end. Giải thuật mở rộng có thể sản sinh tất cả 92 lời giải cho bài toán 8 con hậu. Nhưng thật ra chỉ có 12 lời giải thật sự khác biệt nhau. 25
16. Mười hai lời giải đó được liệt kê trong bảng sau: x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 N === 1 5 8 6 3 7 2 4 876 1 6 8 3 7 4 2 5 264 1 7 4 6 8 2 5 3 200 1 7 5 8 2 4 6 3 136 2 4 6 8 3 1 7 5 504 2 5 7 1 3 8 6 4 400 2 5 7 4 1 8 6 3 72 2 6 1 7 4 8 3 5 280 2 6 8 3 1 4 7 5 240 2 7 3 6 8 5 1 4 264 2 7 5 8 1 4 6 3 160 2 8 6 1 3 5 7 4 336 Những giá trị ở cột N chỉ số lần thử để tìm một ô an toàn. Trung bình cần 161 phép thử trong 92 lời giải này. 26
17. Cây không gian trạng thái ◼ Để tiện diễn tả giải thuật quay lui, ta xây dựng cấu trúc cây ghi những lựa chọn đã được thực hiện. Cấu trúc cây này được gọi là cây không gian trạng thái (state space tree) hay cây tìm kiếm (search tree). ◼ Nút rễ của cây diễn tả trạng thái đầu tiên trước khi quá trình tìm kiếm lời giải bắt đầu. ◼ Các nút ở mức đầu tiên trong cây diễn tả những lựa chọn được làm ứng với thành phần đầu tiên của lời giải. ◼ Các nút ở mức thứ haì trong cây diễn tả những lựa chọn được làm ứng với thành phần thứ hai của lời giải và các mức kế tiếp tương tự như thế. 27
18. Một nút trên cây KGTT được gọi là triển vọng nếu nó tương ứng với lời giải bộ phận mà sẽ có thể dẫn đến lời giải đầy đủ; trái lại, nó được gọi là một lời giải không triển vọng. Các nút lá diễn tả những trường hợp bế tắc (dead end) hay những lời giải đầy đủ. Thí dụ: Cho một bài toán như sau: Tập biến: X, Y, Z. Gán trị từ tập {1,2} vào các biến sao cho thỏa mãn các ràng buộc: X = Y, X ≠ Z, Y > Z. Hãy giải bài toán bằng một giải thuật quay lui. Cây không gian trạng thái của bài toán này được cho ở hình vẽ sau: 28
19. X =1 X =2 Y = 1 Y=2 Y = 1 Y=2 Z =1 Z =2 Z=2 Z=1 Hình 6.9 Thí dụ về cây Không Gian Trạng Thái lời giải 29
20. Độ phức tạp của giải thuật quay lui Thời gian tính toán của các giải thuật quay lui thường là hàm mũ (exponential). Nếu mỗi nút trên cây không gian trạng thái có trung bình nút con, và chiều dài của lối đi lời giải là N, thì số nút trên cây sẽ tỉ lệ với N. Thời gian tính toán của giải thuật đệ quy tương ứng với số nút trên cây không gian trạng thái nên có độ phức tạp hàm mũ. 30
21. Giải thuật nhánh và cận (branch-and-bound) ◼Bài toán người thương gia du hành (TSP): cho một tập các thành phố và khoảng cách giữa mỗi cặp thành phố, tìm một lộ trình đi qua tất cả mọi thành phố sao cho tổng khoảng cách của lộ trình nhỏ hơn M. Điều này dẫn đến một bài toán khác: cho một đồ thị vô hướng, có cách nào để nối tất cả các nút bằng một chu trình đơn hay không. Đây chính là bài toán Chu trình Hamilton (HCP). Để giải bài toán (HCP), ta có thể cải biên giải thuật tìm kiếm theo chiều sâu trước (DFS) để giải thuật này có thể sinh ra mọi lối đi đơn mà đi qua mọi đỉnh trong đồ thị. 31
22. Tìm kiếm vét cạn: Giải thuật DFS cải biên sinh ra mọi lối đi đơn Điều này có thể thực hiện được bằng cách sửa lại thủ tục visit như sau: procedure visit( k: integer); Thủ tục đệ quy này có thể var t: integer; begin sinh ra mọi lối đi đơn từ id := id +1; val[k]:= id; một đỉnh khởi đầu nào đó. for t:= 1 to V do Ví dụ: if a[k, t] then id :=0; if val[k]= 0 then visit(t); for k:= 1 to V do val[k]:=0; id := id –1; val[k] := 0 visit(1); end; 32
23. Một thí dụ về bài toán TSP A H 2 I 1 6 3 B 1 C G 1 2 2 4 1 J 1 K D E 4 3 2 1 2 F L 1 M Hình 5.10 33
24. Tìm kiếm vét cạn các lối đi đơn A G F B H E E C D D C I E G L C F L F B B K F G L E H J M B D J M C D D H J M C G L E I K M J D B K M J J I K M J H J M G L K I K F C I K L M K I K I K M J H J M J H I H I E M L J H I K I K I K M J L M G H H C F E L M G H J H I K I K M L G B D C F M L G L M G H J H I D B B D M L G L M G H F C D B M L G F C Hình 5.11 34
25. Từ giải thuật sinh tất cả các lối đi đơn đến giải thuật giải bài toán TSP ◼ Ta có thể cải biên thủ tục visit ở trên để có thể nhận diện chu trình Hamilton bằng cách cho nó kiểm tra xem có tồn tại một cạnh nối từ đỉnh k về đỉnh 1 xuất phát khi val[k]=V hay không. ◼ Trong thí dụ trên, xem hình vẽ, ta tìm thấy 2 chu trình Hamilton là ❑ A F D B C E L M J K I H G ❑ A G H I K J M L E C B D F và hai chu trình này chỉ là một. ◼ Chương trình nhận diện chu trình Halmiton có thể được sửa đổi để có thể giải bài toán TSP bằng cách theo dõi chiều dài của lối đi hiện hành trong mảng val, và theo dõi lối đi có chiều dài nhỏ nhất trong số các chu trình Hamilton tìm thấy. 35
26. Ý tưởng nhánh và cận Khi áp dụng giải thuật DFS cải biên để sinh ra mọi lối đi đơn, trong quá trình tìm kiếm một lối đi tốt nhất (tổng trọng số nhỏ nhất) cho bài toán TSP, có một kỹ thuật tỉa nhánh quan trọng là kết thúc sự tìm kiếm ngay khi thấy rằng nó không thể nào thành công được. Giả sử một lối đi đơn có chi phí x đã được tìm thấy. Thì thật vô ích để duyệt tiếp trên lối đi chưa-đầy-đủ nào mà chi phí cho đến hiện giờ đã lớn hơn x. Điều này có thể được thực hiện bằng cách không gọi đệ quy thủ tục visit nếu lối đi chưa-đầy- đủ hiện hành đã lớn hơn chi phí của lối đi đầy đủ tốt nhất cho đến bây giờ. 36
27. Ý tưởng nhánh và cận (tt.) Rõ ràng ta sẽ không bỏ sót lối đi chi phí nhỏ nhất nào nếu ta bám sát một chiến lược như vậy. Kỹ thuật tính cận (bound) của các lời giải chưa-đầy-đủ để hạn chế số lời giải phải dò tìm được gọi là giải thuật nhánh và cận. Giải thuật này có thể áp dụng khi có chi phí được gắn vào các lối đi. 37