Giáo trình Sức bền vật liệu - Thái Hoàng Phong

Nội dung text: Giáo trình Sức bền vật liệu - Thái Hoàng Phong

1. 10.3. GIỚI HẠN ÁP DỤNG CÔNG THỨC Euler. Euler thiết lập công thức tính Pth với giả thiết thanh làm việc trong miền đàn hồi. Vì vậy công thức (10-8) hay (10-11) chỉ dùng được khi σth ≤ σtl (giới hạn tỷ lệ). π2 E Tức là: ≤ σ λ2 tl π 2 E Hay λ ≥ σ tl 2 Nếu ký hiệu π E , thì điều kiện áp dụng công thức Euler là λ > λ0 . λ0 = σtl Ta chú ý λ0 chỉ phụ thuộc vào vật liệu. 5 2 2 Ví dụ: Đối với thép CT3 có E = 2,1⋅10 MN/m , σ tl = 210 MN/m thì π2 × 2,1⋅102 λ = ≈ 100 , đối với gỗ thông thì λ0 = 75; gang thì λ0 = 80. 0 2,1⋅10 Những thanh có λ > λ0 gọi là những thanh có độ mãnh lớn. Những thanh có λ ≤ λ0 gọi là những thanh có độ mãnh vừa và bé không thể tính toán ổn định theo công thức của Euler được. Vì vậy nếu vật liệu làm việc ở ngoài miền đàn hồi thì việc tính toán ổn định thực tế dựa vào công thức thực nghiệm của Iasinski đưa ra để tính toán cho những thanh có độ mãnh vừa λ1 ≤ λ ≤ λ0. Giá trị của λ1 là giới hạn của độ mãnh vừa, nó cũng phụ thuộc vào vật liệu (đối với thép λ1 = 40). Công thức Iasinski có dạng: σth = a - bλ (10-13) Trong đó a và b là những hằng số thực nghiệm. Ví dụ: đối với CT3, thì a = 336 MN/m2 và b = 1,47 MN/m2. Đối với thanh có độ mãnh bé 0 < λ < λ1, thì ta lấy σth=σ0 (giới hạn chảy nếu là vật liệu dẻo, giới hạn bền nếu là vật liệu giòn). Như vậy tùy theo thanh có độ mãnh như thế nào đó mà ta tính toán ổn định. Hình 10.4 biểu diễn đồ thị về sự quan hệ giữa độ mãnh λ và σth σt σ IaSinsk 0 i Dạng hypecbol (Euler) 0 λ1 λ0 λ Hình 10.4: Biểu diễn đồ thị về sự quan hệ giữa độ ãhλ à Chú ý: Công thức Euler ở trên, ta sử dụng Jmin với điều kiện liên kết ở hai mặt phẳng quán tính chính như nhau. Trong kỹ thuật rất có thể liên kết theo hai phương (trong mặt phẳng zoy và zox ) khác nhau thì độ mãnh khác nhau vì m khác nhau. Lúc đó ta phải tùy theo liên kết để tính độ mãnh và nơi nào có độ mãnh lớn hơn sẽ nguy hiểm hơn. Nói một cách khác không nhất thiết thanh bị võng theo phương của cạnh nhỏ và có thể theo phương của cạnh kia (xem ví dụ dưới đây). 13
2. Ví dụ 1: Xác định lực tới hạn (Pth) cho thanh thép định hình chữ I 0 trong các N−22 trường hợp sau: a/ Thanh đứng trên hai gối tựa có chiều dài 4m (hình 10.5a). b/ Thanh cũng đứng trên hai gối tựa có chiều dài 2m. c/ Thanh được ngàm 2 đầu có chiều dài 3m (hình 10.5b). 4 2 2 2 Cho biết:E=2,1⋅10 kN/cm , a=31kN/cm , b=0,14kN/cm ,λ0=100,λ1=40. 0 Bài giải: Trước hết tra bảng để biết các số liệu của thép định hình chữ I N − 22 : 2 imin=iy=2,27cm, F=30,6cm a/ Trường hợp a: ml 1 × 400 λ = = = 176 > λ = 100 i 2,27 0 Thanh cómin độ mãnh lớn, ta sử dụng công thức a Pt b Pt Euler (1) để tính σth : ) ) π 2 E π 2 × 2,1⋅10 4 σ = = = 6,69kN / cm 2 th λ2 176 2 Vậy Pth=σth×F=6,69×30,6=204,7kN. b/Trường hợp b: l ml 1× 200 λ = = = 88 n, σth < σ0), hệ số này được gọi là hệ số giảm ứng suất, nó phụ thuộc vào vật liệu và độ mãnh, giá trị của nó được cho trong bảng 10.1. 14
3. Vậy điều kiện ổn định có thể viết: P σ = ≤ ϕ×[]σ = []σ (10-15) F od Công thức (10-15) cho phép ta tính toán ổn định không cần xác định σth và được gọi là phương pháp thực hành hay phương pháp quy phạm. Từ (10-15), ta tính được lực nén cho phép: [P] ≤ ϕ[σ]× F (10-16) Cũng nhờ (10-15), ta gặp lại 3 bài toán cơ bản là kiểm tra ổn định, tính lực lớn nhất nén thanh để khỏi mất ổn định (theo 10-16) và chọn kích thước của mặt cắt ngang của thanh. Tuy vậy bài toán chọn kích thước của mặt cắt ngang suy từ biểu thức (10-15) là: P F ≥ (10-17) ϕ[]σ không đơn giản như việc chọn kích thước trong các bài toán trước đây. Thật vậy căn cứ vào (10-17), ta không thể tìm ngay được F vì ϕ chưa biết. Muốn biết ϕ phải biết độ mãnh λ mới tra bảng được mà trong λ có chứa F, cho nên phải tiến hành xác định F theo phương pháp đúng dần. Tức là ban đầu người ta chọn một giá trị ϕ nào đó để xác định F sơ bộ, sau đó trên cơ sở F sơ bộ xác định lại ϕ, rồi suy lại điều kiện ổn định có thỏa mãn hay không. Nếu không sẽ phải chọn lại ϕ rồi lập lại quá trình tính cho đến khi nào đạt yêu cầu. Để sáng tỏ vấn đề này ta hãy xét ví dụ sau. Ví dụ2: Chọn số hiệu thép chữ I cho một thanh dài 2m, liên kết khớp ở hai đầu và chịu một lực nén P = 230 kN. Biết vật liệu là thép số 2 với[σ] = 140 MN/m2. Bài giải: Theo công thức (10-17), muốn chọn F ta phải chọn ϕ ban đầu . 1. Chọn lần thứ nhất ϕ = 0,50. Từ (10-17), ta có: P 230 ⋅103 F = = = 32,3 ⋅10 −4 m 2 = 32,3cm 2 1 ϕ[]σ 0,5 ⋅140 ⋅10 6 2 Tra bảng thép định hình ứng với F = 32,4cm xấp xỉ với trị số F1 tính toán, ta chọn loại I 22a nó có iy = imin = 2,5cm. ml 1⋅ 2 ⋅102 Ta tính độ mãnh của nó: λ = = = 80 i min 2,5 Tra bảng 10.1, ứng với λ = 80 và thép số 2 ta có ϕ = 0,75. Hệ số ϕ này khác nhiều so với ϕ1 ta chọn ban đầu, nên phải chọn lại. 2. Chọn lần thứ hai: Ta lấy giá trị ϕ2 là trung bình cộng của ϕ1 và ϕ. 0,5 + 0,75 ϕ = = 0,625 2 2 230 ⋅103 Ta tính lại F ≥ = 26,2 ⋅10−4 m 2 = 26,2cm 2 2 0,625 ⋅140 ⋅106 Tra lại bảng thép định hình, ta thấy loại thép I 20 có diện tích F = 26,4 cm2 xấp xỉ với F2 và imin = 2,06cm. Độ mãnh tính được là: 1× 2 ⋅102 λ = = 97 0,0206 15
4. Tra lại bảng 10.1, ta thấy ứng với λ = 97, bằng cách nội suy giữa λ=90 và λ=100, ta có ϕ = 0,627. Trị số này gần bằng ϕ2 , ta chọn và ta tiến hành kiểm tra lại ổn định theo (10-15): P 230 ⋅103 σ = ≤ ϕ[]σ → σ = = 87 ⋅106 N / m 2 = 87 MN m 2 F 26,4 ⋅10−4 2 Rõ ràng λ′′, nên khi mất ổn định cột sẽ cong trong mặt phẳng có a b x độ cứng lớn nhất, tức là độ võng theo y (hình 10.6). ) ) Ta sẽ dùng giá trị λ′ để tính ứng suất tới hạn và lực y tới hạn. Ta đã biết đối với gỗ thì λ0=75, vậy ở đây có Hình 10.6: thể sử dụng công thức Euler để tính ứng suất tới hạn Sơ đồ xác định lực và lực tới hạn: tới hạn π 2 E 9,86 × 9 ⋅105 σ = = = 733 N th 2 2 2 ()λ′ 110 cm 16
5. Vậy lực tới hạn sẽ là : Pth = σ th × F = 733×12× 22 = 193,500N = 193,5kN 10.5. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH DÁNG HỢP LÝ CỦA MẶT CẮT NGANG VÀ VẬT LIỆU KHI ỔN ĐỊNH Như ta biết, muốn tăng tính ổn định thì cần giảm độ mãnh λ. Để giảm độ mãnh λ ta có thể giảm chiều dài của thanh, thay đổi liên kết của thanh hoặc tăng imin. Vì vậy để mặt cắt ngang có hình dạng hợp lý người ta chọn hình dáng của nó sao cho: a) imin = imax, tức là jmin = jmax. Như vậy thanh sẽ có sự ổn định theo mọi phương như nhau. Do đó mặt cắt ngang hợp lý khi chịu ổn định là tròn hoặc hình vuông, nói chung là loại đa giác đều. b) Nếu cùng một diện tích F mà tăng được giá trị mô men quán tính chính trung tâm thì càng tốt. Vì thế người ta thường dùng loại mặt cắt rỗng như hình tròn rỗng hoặc hình vuông rỗng Tóm lại: Hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang khi thanh làm việc trong điều kiện ổn định là loại rỗng và có mô men quán tính đối với mọi trục qua trọng tâm đều bằng nhau. Dĩ nhiên phải đảm bảo chiều dày tối thiểu để tránh hiện tượng mất ổn định cục bộ. Người ta còn dùng những thanh có mặt cắt ghép chữ I, hoặc ghép bằng những bản mỏng sao cho Jmin = Jmax và các giá trị này càng lớn càng tốt. Thường người ta thêm những thanh giằng để các cột chịu ổn định được vững vàng. Ví dụ: các loại cột điện ta thường gặp. Nhìn vào công thức tính ứng suất tới hạn σth (10-11), ta thấy đối với những thanh có độ mãnh lớn (sử dụng được công thức Eurler) thì chỉ có mô đun đàn hồi ảnh hưởng đến nó. Đối với những thanh có độ mãnh nhỏ và vừa (tinh theo IaSinski hoặc σth=σ0), thì giới hạn chảy và giới hạn bền ảnh hưởng đến σth. Do đó, đối với những thanh có độ mãnh lớn ta không cần dùng thép có độ bền cao- như thép hợp kim - để tiết kiệm vật liệu. Nhưng đối với những thanh có độ mãnh nhỏ và vừa thì nên dùng thép có cường độ cao là có lợi, vì nó làm cho giá trị σth tăng lên. Theo đồ thị ở hình 10.7, ta thấy khi λ>100, thì ứng suất tới hạn của các loại thép như nhau.Trái lại khi λ<100, thì thép hợp kim có ứng suất tới hạn lớn hơn so với thép ít carbon. 2 σth (MN/m ) Thép hợp 300 kim 240 200 Thép ít 100 carbon 0 40 80 10 12 16 20 λ 0 0 0 0 Hình 10.7: Đồ thị tính trị số λ ứng với các Hiện tượng mậấtlit ổn địệnh khôngkhá nh hững đối với thanh chịu nén như ta đã nghiên cứu, mà sự mất ổn định có thể xuất hiện ở những thanh chịu uốn, những vòng tròn chịu áp suất 17
6. hướng tâm, những tấm, vỏ, các công trình Vì vậy, hiện tượng ổn định và mất ổn định là rất rộng lớn và có những chuyên khảo chuyên nghiên cứu về ổn định. Dưới đây chúng ta tiếp tục nghiên cứu một số dạng mất ổn định thường gặp. 10.6.ỔN ĐỊNH CỦA DẦM CHỊU UỐN. Với các dầm chịu uốn, mà mặt cắt ngang của nó là hình chữ nhật hẹp (tức là mặt cắt ngang tương đối mõng), thì khi mô men uốn đạt tới giá trị nào đó (Mth) thì dầm bị mất ổn định. Khi đó nó không chỉ bị uốn cong mà còn bị vênh do thanh bị xoắn. Lúc ban đầu ta gắn một hệ trục oxyz (hình 10.8a). Sau khi chịu tác dụng bởi 2 mô men uốn đạt đến tới hạn Mth (thanh bị mất ổn định). Do bị xoắn, thì hệ trục đó sẽ vẽ ở mặt cắt tương ứng, thì trục x (mặt cắt) bị xoắn một góc ϕ (như hình 10.8b) và lúc đó hệ trục có vị trí mới là OXYZ. Như đã biết Mth được biểu diễn bởi một véc tơ theo phương x cũ tức là Mth (trên hình 10.8b). Bây giờ ta phân tích Mth theo hai phương x, y. Ta sẽ có hai mô men uốn quanh ’ trục X,Y và MZ được xác định bằng tích số giữa Mth và góc xoay quanh trục Y là X : M x = M th ⋅ cosϕ⎫ ⎪ M y = M th ⋅sin ϕ ⎬ (10-18) ⎪ M z = M th ⋅ X′ ⎭ ϕ là một góc rất bé, nên cosϕ ≈1, sinϕ ≈ tgϕ ≈ ϕ. M x = M th ⎫ Vậy: ⎬ (10-19) M z = M th ⋅ ϕ⎭ Mặt khác như trong bài toán uốn, giá trị góc xoay quanh trục Y là X′′ với mô men x a) Mth Mth z y b) X ϕ MX Z My Mth ϕ Y Hình10.8:Ổn định của một dầm chịu uốn My có liên hệ vi phân là: − M X′′ = y (10-20) EJy Góc xoắn ϕ được xác định từ phương trình vi phân: 18
7. dϕ M ϕ′ = = Z (10-21) dz GJ P Phương trình này ta đã gặp trong chương xoắn. Vậy: M ⋅ x ϕ′ = th (10-22) GJ P Lấy đạo hàm lần nữa, ta có: M ⋅ x′ ϕ′′ = th (10-23) GJ P Chúng ta để ý đến (10-20) và đưa nó vào (10-23), cuối cùng ta có : M 2 ⋅ ϕ ϕ′′ = th (10-24) EGJ P J y M 2 hay ϕ′′ + th ⋅ ϕ = 0 (10-25) EGJ P J y M 2 Nếu đặt: k 2 = th (10-26) EGJ P J y thì phương trình (10-25) sẽ là: ϕ′′ + k 2 ⋅ ϕ = 0 (10-27) Như đã biết, nghiệm của (10-27) sẽ là: ϕ = C1 sin kz + C2 cos kz (10-28) Các hằng số C1 và C2 được xác định nhờ các điều kiện biên: Khi z=0 → ϕ=0 (a) Khi z=l → ϕ=0 (b) Với điều kiện (a), thì nghiệm (8-28) chỉ thoả mãn khi C2=0. Và từ điều kiện (b), ta có: C1Sinkl = 0 (10-29) Nghiệm (10-29) không thể có khi C1= 0, vì như vậy là không thực tế vì ϕ chỉ bằng 0 ở hai đầu thôi, còn ở các vị trí khác thì nó khác không. Vậy chỉ có thể cho: Sinkl = 0 = sin nπ Tức là: (n=1,2,3 n) 2 2 2 2 π n M th Vậy k = 2 = l EGJ P J y Với n=1, ta có mô men uốn tới hạn Mth cho dầm có gối tựa ở hai đầu là: π M = EGJ J (10-30) th l P y Cũng với lí luận như ở trên, ta suy ra các dầm chịu liên kết khác nhau sẽ là: π M = EGJ J (10-31) th ml P y m cũng là hệ số phụ thuộc vào các dạng liên kết như đã gặp. 10.7.ỔN ĐỊNH CỦA VÀNH CHỊU ÁP SUẤT BỀN NGOÀI. Chúng ta xét một vành tròn (bằng thép chẵng hạn) chịu áp lực phân bố đều bên ngoài với cường độ q (xem hình 10.9). 19
8. Rõ ràng là khi áp lực q tăng lên một giới hạn nào đó thì khi bỏ áp lực, vành cũng không còn giữ hình dáng là hình tròn như ban đầu nữa (mà có thể biến thành hình enlíp chẵng hạn), ta gọi trạng thái đó là trạng thái mất ổn định Tách một phân tố ds bởi hai mặt cắt vuông góc với trục. Khi vành bị mất ổn định, thì bán kính cong của phân tố bị thay đổi không còn là R nữa. Ta gọi bán kinh cong này là ρ. Nếu gọi ξ là sự thay đổi của độ cong: 1 1 − = ξ (10-32) ρ R a) b) M+dM N0+N+dN q q Q Q+ dQ R dϕ M N0+N N0 N0 ρ dϕ y Hình 10.9: Vành chịu áp Hình 10.10: Sơ đồ tính suấtbên ngoài ứng suất Khi vành chưa bị mất ổn định, trên mặt cắt ngang chỉ có một thành phần nội lực là N0 được xác định bằng cách cắt vành như hình 10.9b. Chiếu trên trục y, ta có: π 2 π 2N − 2 q ⋅ R ⋅sin ϕ ⋅ dϕ = 2N + 2qR ⋅ cosϕ 2 = 0 0 ∫ 0 0 0 Suy ra: N0=qR (10-33) Khi bị mất ổn định thì trên mặt cắt ngang có các thành phần nội lực như trên hình vẽ 10.10. Lúc này các phương trình cần bằng được viết như sau: ds qds + dQ + (N + N) = 0 (a) - Chiếu lên phương Q 0 ρ Q dN + = 0 (b) - Chiếu lên phương N. R dS dM + Q = 0 (c)- Lấy mô men đối với trung tâm mặt cắt dS Khi viết các phương trình cân bằng này ta bỏ qua vô cùng bé bậc cao và xem sindϕ=tgdϕ, cosϕ=1. Thay giá trị N0 từ (10-33) vào biểu thức (a) và rút gọn, ta được: ⎛ 1 1 ⎞ 1 dQ N q⎜ − ⎟ + ⋅ − = 0 ⎝ R ρ ⎠ R dS ρR 1 dQ N Hay − qξ + ⋅ − = 0 (10-34) 12 dS R 2 Chú ý ở số hạng cuối cùng ρR≈ R2, các biểu thức (b), (c) và phương trình (10-34) 1 d 2 M 1 có thể viết lại: qξ + ⋅ + ⋅ M = C (10-35) R dS2 R 3 1 20
9. Ta đã từng biết tương quan giữa mô men uốn và sự thay đổi độ cong ξ sẽ là: ⎛ 1 1 ⎞ M= EJ⎜ − ⎟ = EJξ (10-36) ⎝ ρ R ⎠ Thay biểu thức này vào (10-35), ta sẽ được phương trình vi phân: d 2ξ R + K 2ξ = C (10-37) dS2 1 EJ 1 qR Trong đó : K 2 = + (10-38) R 2 EJ Nghiệm của phương trình (10-37) sẽ có dạng: R ξ = C + C sin kS + C cos kS 1 K 2 EJ 2 3 Giá trị ξ phải là một hàm tuần hoàn, vì trị sô ξ phải như nhau khi S có chiều dài là 2πR. Với suy luận như vậy cũng có nghĩa là sự biến thiên của kS với chiều dài 2πR phải là một số nguyên lần của 2π, tức là: k(S + 2πR)− kS = 2πn n là một số nguyên. Vậy ta có: kR = n Thay giá trị này vào (10-38), ta sẽ xác định được qth là: n 2 −1 q = EJ (10-39) th R 2 Rõ ràng n tối thiểu phải là 2 mới có giá trị qt 3EJ q = (10-40) th R 2 Như vậy độ thay đổi của bán kính cong ξ theo chu vi của vành là 2 chu kì nguyên vẹn và vành sẽ bị uốn theo bốn nữa bước sóng và có hình dáng gần với hình dáng của enlíp (xem hình 10.9a). Trong trường hợp vành có sự gia cố bằng 2n liên kết đơn (dĩ nhiên n>2, vì bằng 2 đã được xét rồi), được bố trí đều theo chu vi vành, lúc này sự mất ổn định sẽ tạo nên 2n nửa bước sóng và qth cũng sẽ được Hình 10.11: Sự thay tính theo (10-39) xem hình 10.11. đổi của bán kính CÂU HỎI TỰ HỌC. cong ξ theo chu vi 10.1. Khị nào thì gọi là một thanh chịu nén ổn định và lúc nào là mất ổn định ? 10.2. Bài toán Euler ? Khi mất ổn định thì thanh sẽ võng chiều nào ? Gía trị mô men quán tính trong công thức Euler như thế nào ? 10.3. Định nghĩa độ mãnh của thanh. Ý nghĩa của giá trị độ mãnh. Độ mãnh phụ thuộc những yếu tố nào ? 10.4. Phương pháp thực hành để tính ổn định ? ưu điểm của phương pháp này. 10.5. Các bài toán khi uốn dọc. Bài toán nào phức tạp nhất, vì sao ? 10.6. Hình dáng hợp lí của thanh khi uốn dọc.Vật liệu như thế nào thì phù hợp với bài toán uốn dọc? WX Bảng 10.1 Độ Trị số ϕ 21
10. mãnh Thép Thép Thép Gang Gỗ λ 4. 3. 2 số 5 hợp kim 0 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 10 0.90 0.98 0.97 0.97 0.99 20 0.96 0.95 0.95 0.91 0.97 30 0.94 0.92 0.91 0.81 0.92 40 0.92 0.89 0.87 0.69 0.87 50 0.89 0.86 0.83 0.57 0.80 60 0.86 0.82 0.79 0.44 0.71 70 0.81 0.76 0.72 0.34 0.60 80 0.75 0.70 0.65 0.26 0.48 90 0.69 0.62 0.55 0.20 0.36 100 0.60 0.51 0.43 0.1 0.31 110 0.52 0.43 0.35 - 0.26 120 0.45 0.36 0.30 - 0.22 130 0.40 0.33 0.26 - 0.18 140 0.36 0.29 0.23 - 0.16 150 0.32 0.26 0.21 - 0.14 160 0.29 0.24 0.19 - 0.12 170 0.26 0.21 0.17 - 0.11 180 0.23 0.19 0.15 - 0.10 190 0.21 0.17 0.14 - 0.09 200 0.19 0.16 0.13 - 0.05 _ _ _ _ _ Chương 11 UỐN NGANG VÀ UỐN DỌC ĐỒNG THỜI R2 R3 P 11.1. KHÁI NIỆM CHUNG a Từ trước đến nay việc tính toán ) một thanh hay một hệ chịu lực phức R1 tạp đều dựa trên nguyên lý cộng tác z dụng. Nguyên lý này chỉ đúng khi vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi và b R2 R3 ) 0 (z) y y P R1 22 Hình 11.1: Thanh chịu uốn ngang và uốndọc đồng thời
11. hệ bị biến dạng nhỏ. Thật vậy nếu không xét đến biến dạng uốn do lực dọc gây ra thì dầm trên hình 11.1a sẽ tính toán như một thanh chịu uốn do các lực ngang R1, R2, R3 sinh ra và chịu nén do lực P. Nếu thanh dài và độ cứng EJ nhỏ, tức là biến dạng lớn, ta phải kể đến sự uốn do lực dọc P gây ra nữa. Bây giờ ta hãy xét biến dạng uốn do lực nén P gây ra (hình 11.1). Tại mặt cắt bất kỳ cách đầu tự do một đoạn là z có độ võng là y(z), mô men tại mặt cắt đó sẽ là: M (z) = R1×z +P [y(z) -y0] (a) Trong đó: y0 là độ võng ban đầu tại đầu tự do, do các lực dọc và lực ngang gây ra. Biểu thức mô men (a) có thể viết dưới dạng: * M (z) = M (z) + P [ y(z) - y0] (11-1) Số hạng thứ nhất trong vế phải của (11-1) là lượng mô men do lực ngang gây ra. Số hạng thứ hai là lượng mô men do lực dọc gây ra, lượng này tăng nhanh khi lực dọc và lực ngang tăng. Vì thế bài toán này được gọi là bài toán uốn ngang và uốn dọc đồng thời. Nó có hai điểm khác trước đây: 1- Chuyển vị có ảnh hưởng đến trị số của nội lực (vì nó làm dời chuyển điểm đặt lực khá lớn). 2- Nội lực không tỷ lệ bậc nhất với ngoại lực vì y(z) là hàm của P và R1, R2, R3 nên số hạng thứ hai trong (11-1) không tỷ lệ bậc nhất với P được. Một cách chặt chẽ hơn, ta nói lực dọc ở các mặt cắt không còn là không đổi và bằng lực P nữa vì mọi mặt cắt đã xoay đi. Tuy vậy lực dọc tính một cách chính xác không sai nhiều so với P nên người ta vẫn xem lực dọc là bằng giá trị lực P: NZ = −P Trên mỗi mặt cắt, ứng suất pháp do lực dọc NZ và mô men uốn M(z) gây ra có giá trị tuyệt đối lớn nhất tại thớ biên chịu nén bằng: ⎡P M(z) ⎤ max σ z = −⎢ + ⎥ (11-2) ⎣F Wx ⎦ * ⎛ P M (z) + P[y(z) − yo] ⎞ hay max σ = −⎜ + ⎟ (11-3) z ⎜ F W ⎟ ⎝ x ⎠ l Người ta chỉ tính uốn ngang và uốn dọc đồng thời khi dầm dài có tỷ số > 12 (h h là chiều cao của dầm, l là chiều dài). 11.2. XÁC ĐỊNH NỘI LỰC THEO PHƯƠNG PHÁP CHÍNH TẮC Căn cứ vào biểu thức (11-3) đồng thời dựa vào mối liên hệ vi phân giữa độ võng với nội lực và ngoại lực, chúng ta có thể đi đến kết quả việc xác định các thành phần nội lực tương đối chính xác. Trước hết ta thành lập phươg trình vi phân của mô men uốn bằng cách đạo hàm hai lần liên tiếp phương trình (11-1): d 2 M(z) d 2 M * d 2 y(z) = + P ⋅ (a) dz 2 dz 2 dz 2 Trong chương uốn, ta đã có: d 2 y M(z) d 2 M * 2 = − và 2 = q()z (b) dz EJ x dz 23
12. Thay (b) vào (a), ta được: d 2 M(z) P 2 = q()z − M()z (11-4) dz EJ x P Ta đặt α 2 = EJ Và phương trình (11-4) có thể được viết lại: d 2 M(z) + α 2 M()z = q ()z (11-5) dz 2 Để thuận lợi và không quá phức tạp khi giải hệ (11-5), ta đưa ra một số giả thiết sau: 1. Dầm có độ cứng EJx= const suốt chiều dài của dầm và không có liên kết bản lề trên dầm. 2. Nếu dầm có tải trọng phân bố thì cường độ đó hoặc không đổi hoặc bậc nhất trong từng đoạn hay trên suốt cả chiều dài dầm thì sẽ đơn giản hơn. Với những giả thiết như thế thì biểu thức (11-5) sẽ là một phương trình vi phân cấp hai không thuần nhất, hệ số là hằng số hoặc là hàm bậc nhất. Bây giờ chúng ta hãy xét một dầm dài chịu tác dụng các lực ngang và lực dọc, tức là bài toán phải tính toán là uốn ngang đồng thời với uốn dọc. Có thể căn cứ vào sự tác động của tải trọng ta có thể chia ra làm nhiều đoạn sao cho tải trọng trên từng đoạn là hằng số hoặc một hàm bậc nhất liên tục như đã nói ở trên. Chúng ta gọi các biểu thức mô men ứng với từng đoạn là: M1(z), M2(z), Mi(z), M1+1(z), Mn(z). Chúng ta hãy xét hai đoạn kề nhau thứ i và thứ i+1 (xem hình 11.2). Trên hình này vì tách ra 2 đoạn i và i+1 nên ta không biểu diễn các lực dọc ở đầu dầm là nguyên nhân gây ra uốn dọc.Tại ranh giới giữa hai đoạn i và i+1 xem như có toạ độ là z=a. Giả sử tại điểm K giáp giới giữa hai đoạn có lực tập Pa qi+1 trung là Pa và mô men tập trung là Ma và qi ∆qa cường độ tải trọng phân bố có bước nhảy là a) ∆qa (xem hình 11.2). Biểu đồ mô men uốn Ma thứ i và thứ i+1 được trình bày trên hình z=a (i K (i+1) z 11.2b. Tưởng tượng kéo dài biểu đồ mô z>a men ở đoạn thứ i sang đoạn i+1, lúc đó mô ) men trong đoạn thứ i+1 có thể xem bằng b) biểu thức: Mi M1+1(z)=M1(z)+∆M(z−a) (11- Mi+1 6) Mi ∆M Rõ ràng gia số ∆M thay đổi theo vị ∆Mi trí của mặt cắt, tức là ∆M cũng là hàm số Mi+1+∆Mi theo (z−a). Khi đã biết Mi , ∆M(z−a) thì tính được Mi+1. Việc xác định ∆M(z−a) là Hình 11.2: Sơ đồ xác định quan trọng. Hãy viết cho đoạn thứ i và i+1: nộilực 2 M′i′(z)+ α M i (z) = q i (c) 2 M′i′+1 (z) + α M i+1 (z) = q i+1 (d) Thay biểu thức (11-6) và đạo hàm cấp 2 của nó vào (d), ta được: 24