Giáo trình Matlab - Phan Thanh Tao

Nội dung text: Giáo trình Matlab - Phan Thanh Tao

1. Giới thiệu 10 Bắt đầu vào môi trường MATLAB. Bạn nên chạy các chương trình mẫu để xem bằng cách ấn nút Demos hoặc nhập lệnh Demo ở dòng lệnh, sau dấu nhắc >>. Phan Thanh Tao - 2004
2. Chương 1. Các khái niệm cơ bản 11 Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN MATLAB chỉ làm việc chủ yếu với các loại đối tượng là ma trận số có thể là số phức. Trong trường hợp đặc biệt, có thể là ma trận cấp 1 là các vô hướng, và các ma trận dòng hoặc ma trận cột là các vectơ. Hãy bắt đầu với cách nhập ma trận cho MATLAB. 1.1. Nhập ma trận đơn giản Ma trận có thể nhập cho MATLAB bằng nhiều cách: - Nhập danh sách rõ ràng các phần tử. - Phát sinh bằng các lệnh và hàm gắn liền. - Tạo ra từ siêu tệp (M-file). - Nạp từ các tệp dữ liệu bên ngoài. Ngôn ngữ MATLAB không chứa các lệnh khai báo kích thước hoặc khai báo kiểu. Việc lưu trữ là tự động. Cách dễ nhất của việc nhập ma trận là nhập danh sách rõ ràng các phần tử. Danh sách các phần tử cách nhau ký tự trống hoặc dấu phẩy, đặt trong cặp ngoặc vuông, [ và ], và dùng dấu chấm phẩy( ; ) để biểu hiện kết thúc dòng. Ví dụ, nhập lệnh A = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 ] kết quả xuất là A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ma trận A được lưu để sử dụng về sau . Ma trận lớn có thể được tách ra thành nhiều dòng, sang dòng thay cho dấu chấm phẩy. Mặc dù ít cần ma trận kích thước này, nhưng ma trận trên cũng có thể tách ra thành 3 dòng nhập như sau A = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] Phan Thanh Tao - 2004
3. Chương 1. Các khái niệm cơ bản 12 Các ma trận có thể nhập từ tệp với tên mở rộng là ".m" . Nếu tệp có tên là gena.m chứa ba dòng văn bản A = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] thì lệnh gena đọc tệp và phát sinh ra ma trận A. Lệnh load có thể đọc các ma trận phát sinh từ các phần khác trước đó của MATLAB hoặc các ma trận ở dạng ASCII xuất từ các chương trình khác. Sẽ biết thêm sau này. 1.2. Các phần tử của ma trận Các phần tử của ma trận có thể là biểu thức MATLAB bất kỳ; ví dụ, lệnh x = [ -1.3 sqrt(3) (1+2+3)*4/5 ] kết quả là x = -1.3000 1.7321 4.8000 Các phần tử riêng biệt của ma trận có thể được tham chiếu với các chỉ số bên trong cặp ngoặc đơn, ( và ). Tiếp ví dụ trên, lệnh x(5) = abs(x(1)) cho ra x = -1.3000 1.7321 4.8000 0.0000 1.3000 Lưu ý rằng kích thước của x được tự động tăng để phù hợp với các phần tử mới, và các phần tử trong khoảng không xác định được đặt giá trị không. Ma trận lớn có thể được xây dựng bằng cách dùng các ma trận nhỏ như các phần tử. Ví dụ, có thể đưa thêm một dòng khác vào ma trận A với lệnh r = [ 10 11 12 ]; A = [ A ; r ] kết quả là A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Phan Thanh Tao - 2004
4. Chương 1. Các khái niệm cơ bản 13 Các ma trận nhỏ có thể được trích ra từ các ma trận lớn bằng cách dùng dấu hai chấm, : . Ví dụ, lệnh A = A(1:3,:); lấy ba dòng đầu và tất cả các cột của ma trận A hiện thời để đưa ma trận A về giá trị ban đầu. Sẽ biết thêm về dấu hai chấm sau này. 1.3. Câu lệnh và biến MATLAB là ngôn ngữ biểu thức. Các biểu thức được đánh vào bởi người dùng, được thông dịch và ước lượng bởi hệ MATLAB. Các lệnh MATLAB thường có dạng: variable = expression hoặc đơn giản expression variable: tên biến, expression: biểu thức. Các biểu thức được cấu thành từ các toán tử và các ký tự đặc biệt khác, từ các hàm, và từ các tên biến. Việc ước lượng các biểu thức cho ra một ma trận, sau đó hiển thị trên màn hình và gán vào biến để sử dụng về sau. Nếu tên biến và dấu = bị bỏ qua thì một biến có tên là ans, viết tắt chữ "answer" ( trả lời ), được tự động tạo ra. Ví dụ, đánh vào 1900/81 cho ra ans = 23.4568 Một câu lệnh được kết thúc bình thường với ký tự sang dòng hay phím . Tuy nhiên, nếu ký tự cuối cùng của câu lệnh là dấu chấm phẩy thì việc in ra kết quả được hủy, nhưng lệnh vẫn được thực hiện. Điều này là hữu ích trong các siêu tệp M-file ( biết thêm sau này) và trong trường hợp kết quả đủ lớn không cần quan tâm từng số. Ví dụ, lệnh p = conv(r,r); tích chập các số trong r với chính chúng nhưng không hiển thị kết quả. Phan Thanh Tao - 2004
5. Chương 1. Các khái niệm cơ bản 14 Nếu biểu thức quá phức tạp để câu lệnh không thể đặt gọn trên một dòng thì có thể dùng dấu tĩnh lược ( ) tiếp theo là ký tự sang dòng để biểu hiện câu lệnh được tiếp tục trên dòng tiếp theo. Ví dụ s = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 + 1/9 - 1/10 + 1/11 - 1/12; tính tổng riêng của chuỗi điều hòa, gán tổng vào biến s, nhưng không in ra gì cả. Các ký tự trống quanh các dấu +, - là tùy chọn nhưng được đưa vào đây để dễ đọc. Các tên biến, tên hàm được định dạng bằng một chữ viết, tiếp theo là số bất kỳ các chữ viết và chữ số ( hoặc dấu nối ). Chỉ có 19 ký tự đầu được nhớ. MATLAB là ngôn ngữ nhạy cảm; nó thường phân biệt chữ hoa/chữ thường, bởi vậy a và A không phải là tên của cùng một biến. Tất cả các tên hàm phải là chữ thường; lệnh inv(A) sẽ lấy ngịch đảo của ma trận A, nhưng lệnh INV(A) tham chiếu đến một hàm không được định nghĩa: Tuy nhiên, lệnh casesen làm cho MATLAB không phân biệt chữ hoa/chữ thường. Trong chế độ này INV(a) là lấy ma trận đảo của nó. 1.4. Cách lấy thông tin vùng làm việc Các lệnh trong các ví dụ cho đến bây giờ tạo ra các biến được lưu trong vùng làm việc của MATLAB. Thực hiện lệnh who liệt kê các biến trong vùng làm việc: your variables are: A ans p r s x leaving 291636 bytes of memory free ở đây trình bày 6 biến phát sinh bởi các ví dụ, kể cả biến ans. Để biết thêm chi tiết về kích thước của mỗi biến hiện thời, dùng lệnh whos, cũng với ví dụ, cho ra Name size total Complex A 3 by 3 9 No ans 1 by 1 1 No p 1 by 5 5 No r 1 by 3 3 No s 1 by 1 1 No x 1 by 5 5 No Phan Thanh Tao - 2004
6. Chương 1. Các khái niệm cơ bản 15 Grand total is (24*8) = 192 bytes, leaving 291636 bytes of memory free. Mỗi phần tử của ma trận thực đòi hỏi 8 byte bộ nhớ, bởi vậy ma trận A cấp 3 dùng 72 byte và tất cả các biến dùng tổng cọng 192 byte. Tổng số không gian bộ nhớ tự do còn lại phụ thuộc vào từng loại máy khác nhau. Biến ans cùng với một biến không liệt kê eps có ý nghĩa đặc biệt với MATLAB. Chúng là các biến cố định không thể xóa. Biến eps (epsilon) dùng để xác định những giá trị gần kỳ dị (suy biến) và hạng ma trận. Giá trị khởi tạo của nó là khoảng cách từ 1.0 đến số thập phân lớn nhất tiếp theo. Đối với kỹ thuật số học IEEE (Institute of Electrical and Electronic Engineers) dùng trên các máy cá nhân và các máy trạm, thì eps = 2-52 khoảng 2.22 x 10-16. eps có thể được đặt lại với giá trị khác, kể cả giá trị 0. 1.5. Số và biểu thức số Các số dùng ký pháp thập phân qui ước với dấu chấm và dấu trừ đứng trước là tùy chọn. Có thể đưa vào cuối dạng khoa học ( lũy thừa 10 ). Sau đây là vài ví dụ về các số hợp pháp: 3 -99 0.0001 9.6397238 1.6040E-10 6.022252e23 Trên các máy dùng kỹ thuật số học chấm động IEEE thì độ chính xác tương đối của các số là eps, khoảng 16 chữ số có nghĩa. Miền giá trị khoảng 10-308 đến 10308. Các biểu thức có thể được tạo ra bằng cách dùng các phép toán số học thông thường và các qui tắc ưu tiên: + cộng - trừ * nhân / chia phải \ chia trái ^ lũy thừa Phan Thanh Tao - 2004
7. Chương 1. Các khái niệm cơ bản 16 Các phép toán trên ma trận để cho tiện có hai ký hiệu cho phép chia. Các biểu thức vô hướng 1/4 và 4\1 có cùng giá trị số, chính là 0.25. Các cặp ngoặc đơn được dùng theo cách thông thường để xen vào việc ưu tiên của các phép toán số học. Hầu hết các hàm toán sơ cấp thông thường trên các tính toán khoa học là các hàm cài sẵn của MATLAB, như abs, sqrt, log, và sin, Có thể thêm vào các hàm một cách dễ dàng với các siêu tệp M-file. Phần sau có một danh sách khá đầy đủ các hàm. Một số các hàm cài sẵn đơn giản trả về các giá trị đặc biệt thường dùng. Hàm pi trả về số π, chương trình tính trước, đó là 4*atan(1). Một cách gọi khác để phát sinh số π là imag(log(-1)) Hàm inf, viết tắt chữ infinity ( vô định ), được thấy trên rất ít hệ tính toán hoặc ngôn ngữ lập trình. Trên một số máy, nó được tạo ra bởi kỹ thuật số học IEEE cài trong bộ đồng xử lý toán học (coprocessor). Trên các máy khác, phần mềm chấm động được đưa vào để mô phỏng đồng xử lý toán học. Một cách để phát sinh giá trị trả về bởi hàm inf là s = 1/0 kết quả là s = ∞ Warning: Divide by zero. Trên các máy với kỹ thuật số học IEEE, việc chia cho số không không dẫn đến điều kiện lỗi hoặc kết thúc hoạt động. Cho ra một thông báo khuyến cáo và một giá trị đặc biệt có thể xử lý trong việc tính toán sau đó. Biến NaN là một số IEEE quan hệ với hàm inf, nhưng có các đặc tính khác. Nó là viết tắt chữ "Not a Number" ( không phải là một số ) và được cho ra bởi các việc tính toán như inf/inf hoặc 0/0. 1.6. Số phức và ma trận phức Số phức được dùng trong tất cả các phép toán và các hàm của MATLAB. Số phức được nhập bằng các hàm đặc biệt là i và j. Vài người có thể dùng z = 3 + 4*i trong khi người khác lại thích dùng Phan Thanh Tao - 2004
8. Chương 1. Các khái niệm cơ bản 17 z = 3 + 4*j Một ví dụ khác là w = r*exp(i*theta) Có ít nhất hai cách thuận tiện để nhập ma trận phức. Chúng được minh họa bởi các lệnh A = [ 1 2; 3 4 ] + i*[ 5 6; 7 8 ] và A = [ 1+5*i 2+6*i; 3+7*i 4+8*i ] cho ra cùng kết quả. Khi các số phức được nhập như các phần tử của ma trận bên trong cặp ngoặc vuông, thì điều quan trọng là tránh mọi khoảng trống, vì một biểu thức như 1 + 5*i với ký tự trống quanh dấu + biểu hiện hai số riêng biệt. ( Giống như thế cho số thực; một ký tự trống trước phần mũ trong 1.23 e-4 gây ra lỗi ). Tên hàm cài sẵn có thể dùng như tên biến; trong trường hợp này hàm gốc trở nên không dùng được bên trong vùng làm việc hiện thời (hoặc hàm M-file cục bộ ) cho đến khi biến bị xóa. Nếu dùng i và j là tên các biến, và đè lên các giá trị này, thì một đơn vị phức mới được phát sinh và sử dụng theo cách thông thường: ii = sqrt(-1) z = 3 + 4*ii 1.7. Dạng thức xuất Kết quả của mọi lệnh gán của MATLAB được hiển thị trên màn hình, gán cho biến chỉ định hoặc cho ans nếu không cho biến. Dạng thức hiển thị số có thể điều khiển bằng lệnh format. Lệnh format chỉ ảnh hưởng đến cách hiển thị ma trận chứ không ảnh hưởng đến việc tính toán và lưu chúng ( MATLAB thực hiện tất cả các tính toán theo độ chính xác kép "double" ). Nếu tất cả các phần tử của ma trận đúng là số nguyên thì ma trận được hiển thị theo dạng không có phần thập phân. Ví dụ, x = [ -1 0 1 ] kết quả luôn là x = -1 0 1 Phan Thanh Tao - 2004
9. Chương 1. Các khái niệm cơ bản 18 Nếu ít nhất một phần tử của ma trận không là số nguyên thì có một số cách có thể hiển thị. Dạng ngầm định, gọi là dạng short, trình bày khoảng 5 chữ số có nghĩa. Các dạng khác trình bày nhiều chữ số hơn hoặc dùng dạng khoa học. Ví dụ, giả sử x = [ 4/3 1.2345e-6 ] Các dạng thức, và kết quả xuất cho vectơ này, là: Dạng thức short 1.3333 0.0000 Dạng thức short e 1.3333E+000 1.2345E-006 Dạng thức long 1.333333333333338 0.000001234500000 Dạng thức long e 1.333333333333338E+000 1.234500000000003E-006 Dạng thức hex 3FF555555555555 3EB4B6231AFBD271 Dạng thức + + + Đối với các dạng long thì chữ số cuối cùng có thể xuất hiện không đúng, nhưng việc xuất ra đúng là một biểu hiện độ chính xác của số nhị phân lưu trong máy. Với các dạng short và long, nếu phần tử lớn nhất của ma trận lớn hơn 1000 hoặc nhỏ hơn 0.001 thì một thừa số chung được áp dụng cho toàn bộ ma trận khi hiển thị nó. Ví dụ, lệnh x = 1.e20*x nhân x cho 1020 và kết quả hiển thị x = 1.0E+020 * 1.3333 0.0000 Dạng thức + là cách cô đọng để hiển thị các ma trận lớn. Các ký hiệu +, - và ký tự trống được hiển thị cho các phần tử dương, âm và bằng không. Phan Thanh Tao - 2004
10. Chương 1. Các khái niệm cơ bản 19 Lệnh cuối cùng, format compact, bỏ nhiều ký tự sang dòng xuất hiện giữa các hiển thị về ma trận và cho phép nhiều thông tin hiện trên màn hình. 1.8. Công cụ trợ giúp Công cụ trợ giúp cung cấp thông tin trực tiếp về hầu hết các vấn đề của MATLAB. Để xem danh sách các vấn đề trợ giúp, đánh vào lệnh help Để lấy về một vấn đề chỉ định, đánh vào help topic.( topic là vấn đề cần trợ giúp ). Ví dụ, lệnh help eig cung cấp thông tin về cách sử dụng hàm giá trị riêng, help [ trình bày cách dùng các dấu ngoặc vuông để nhập ma trận, và help help là tham khảo chính nó, nhưng làm việc tốt đẹp. 1.9. Thoát và lưu vùng làm việc Để thoát MATLAB, đánh vào lệnh quit hoặc exit. Việc kết thúc quá trình làm việc của MATLAB làm cho các biến trong vùng làm việc bị mất. Trước khi thoát, vùng làm việc có thể được lưu lại để dùng về sau bằng cách đánh vào lệnh save Lệnh này lưu tất cả các biến vào tệp có tên là matlab.mat. Khi gọi MATLAB lần sau, vùng làm việc có thể được phục hồi từ tệp matlab.mat bằng lệnh load Các lệnh save và load có thể dùng với các tên tệp khác, hoặc chỉ lưu các biến đã chọn. Lệnh save temp lưu các biến hiện thời vào tệp có tên là temp.mat. Lệnh save temp X chỉ lưu biến X, trong khi lệnh save temp X Y Z Phan Thanh Tao - 2004
11. Chương 1. Các khái niệm cơ bản 20 lưu X, Y, và Z. Lệnh load temp lấy lại tất cả các biến từ tệp temp.mat. Các lệnh load và save cũng có thể dùng cho việc nhập và xuất các tệp dữ liệu dạng ASCII, xem phần tham khảo để biết thêm chi tiết. 1.10. Các hàm Phần lớn tính năng của MATLAB nhận được từ tập hợp mở rộng của nó về các hàm. MATLAB có một số lớn các hàm, cho đến nay trên 500 hàm. Một số hàm là hàm nội tại hay hàm cài sẵn với chính trình xử lý MATLAB. Các hàm khác có thể ở thư viện các siêu tệp M-file bên ngoài cùng gói hàng của MATLAB( MATLAB TOOLBOX ). Và một số được thêm vào bởi người dùng cho các trình ứng dụng đặc biệt. Rõ ràng với người dùng thì một hàm có thể có hay không có trong trình MATLAB hoặc ở siêu tệp M-file. Đây là một mặt quan trọng của MATLAB; người dùng có thể tạo ra các hàm của riêng mình, và chúng hoạt động đúng như các hàm nội tại cài sẵn của MATLAB . Sẽ biết thêm về siêu tệp M-file trong phần sau. Các phạm trù chung của các hàm toán học có thể dùng trong MATLAB gồm: Toán sơ cấp Các hàm đặc biệt Ma trận sơ cấp Ma trận đặc biệt Tách và đặt thừa số ma trận Phân tích dữ liệu Đa thức Giải phương trình vi phân Phương trình phi tuyến và tối ưu phi tuyến Tích phân số Xử lý tín hiệu Các phần sau sẽ giới thiệu các phạm trù khác nhau này về các hàm giải tích. Trong giáo trình này chúng tôi không đi vào chi tiết trên từng hàm; điều này được thực hiện bởi công cụ trợ giúp và trong phần tham khảo. Cho đến bây giờ, chúng ta chỉ biết các hàm với một đối số nhập và một đối số xuất. Các hàm của MATLAB cũng có thể dùng với nhiều đối số. Ví dụ, lệnh Phan Thanh Tao - 2004
12. Chương 1. Các khái niệm cơ bản 21 x = sqrt(log(z)) trình bày cách dùng tổ hợp hai hàm đơn giản. Có các hàm của MATLAB dùng hai hoặc nhiều đối số nhập. Ví dụ, theta = atan2(y, x) Tất nhiên, mỗi đối số có thể là một biểu thức. Một số hàm trả về hai hoặc nhiều đối số xuất. Các giá trị xuất được bọc quanh bởi cặp ngoặc vuông, [ và ], và cách nhau dấu phẩy: [V,D] = eig(A) [y,i] = max(X) Hàm thứ nhất trả về hai ma trận, V và D, gồm vectơ riêng và các giá trị riêng tương ứng của ma trận A. Ví dụ thứ hai, dùng hàm max, trả về giá trị lớn nhất y và chỉ số i của giá trị lớn nhất trong vectơ X. Các hàm cho phép nhiều đối số xuất có thể trả về ít đối số xuất hơn. Ví dụ, hàm max với một đối số xuất, max(X) trả về đúng giá trị lớn nhất. Các đối số nhập hay đối số ở bên phải của một hàm không bao giờ được thay đổi. Các giá trị xuất, nếu có, của một hàm luôn trả về ở các đối số bên trái. Phan Thanh Tao - 2004
13. Chương 2. Các phép toán trên ma trận 22 Chương 2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN Các phép toán trên ma trận là điều cơ bản của MATLAB; bất kỳ đâu có thể được, chúng biểu hiện như xuất hiện trên giấy, chỉ phụ thuộc vào dung lượng bộ nhớ của máy. 2.1. Chuyển vị ma trận Ký tự đặc biệt là dấu nháy ( ' ) biểu hiện phép chuyển vị một ma trận. Các lệnh A = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 0 ] B = A' kết quả là A = 1 2 3 4 5 6 7 8 0 B = 1 4 7 2 5 8 3 6 0 và lệnh x = [ -1 0 2 ]' cho ra x = -1 0 2 Dấu nháy ' chuyển vị ma trận theo ý nghĩa hình thức; nếu Z là ma trận phức thì Z' là chuyển vị liên hợp của nó. Điều này đôi khi dẫn đến kết quả không như ý Phan Thanh Tao - 2004
14. Chương 2. Các phép toán trên ma trận 23 muốn nếu dùng dữ liệu phức một cách bất cẩn. Đối với một chuyển vị không liên hợp thì dùng biểu thức Z.' hoặc hàm conj(Z'). 2.2. Cộng và trừ ma trận Cộng và trừ ma trận được biểu hiện bằng các ký hiệu + và - . Các phép toán được định nghĩa cho các ma trận cùng cỡ. Ví dụ, với các ma trận trên, A+x là không đúng, vì A là ma trận vuông cấp 3 và x là ma trận cỡ 3x1. Tuy nhiên, C = A + B là chấp nhận được, và kết quả là C = 2 6 10 6 10 14 10 14 0 Các phép cộng và trừ cũng được định nghĩa nếu một trong các toán hạng là đại lượng vô hướng, đó là ma trận cấp một. Trong trường hợp này, đại lượng vô hướng được cộng hoặc trừ vào tất cả các phần tử của toán hạng kia. Ví dụ y = x – 1 cho ra y = -2 -1 1 2.3. Nhân ma trận Phép nhân ma trận được biểu hiện bởi ký hiệu * . Phép toán được định nghĩa cho các ma trận có kích thước bên trong bằng nhau, đó là X*Y cho phép nếu số cột của ma trận X bằng số hàng của ma trận Y. Ví dụ, cả hai ma trận x và y ở trên có cỡ 3x1, vì vậy biểu thức x*y không được định nghĩa và kết quả là một thông báo lỗi. Tuy nhiên, vài phép nhân khác về vectơ được định nghĩa, và rất hữu ích. Thông dụng nhất là tích nội tại, cũng được gọi là tích điểm hay tích vô hướng. Đây là Phan Thanh Tao - 2004
15. Chương 2. Các phép toán trên ma trận 24 x'*y kết quả là ans = 4 Tất nhiên, y'*x cho cùng kết quả. Có hai tích ngoại lai, chúng là chuyển vị của nhau. x*y' = 2 1 -1 0 0 0 -4 -2 2 y*x' = 2 0 -4 1 0 -2 -1 0 2 Phép nhân trên từng phần tử sẽ được mô tả trong phần sau. ( MATLAB không cung cấp đặc biệt cho việc tính toán vectơ qua các phép nhân. Tuy nhiên, người nào cần thì dễ dàng viết một siêu tệp M-file để tính toán chúng.) Các phép nhân ma trận với vectơ là các trường hợp đặc biệt của nhân tổng quát ma trận với ma trận. Với ví dụ ma trận A và vectơ x thì b = A*x là được phép và kết quả xuất là b = 5 8 -7 Một cách tự nhiên, một đại lượng vô hướng có thể nhân hoặc bị nhân với ma trận bất kỳ. Phan Thanh Tao - 2004
16. Chương 2. Các phép toán trên ma trận 25 pi*x ans = -3.1416 0.0000 6.2432 2.4. Chia ma trận Trong MATLAB có hai ký hiệu "chia ma trận", \ và /. Nếu A là ma trận không suy biến, thì A\B và B/A tương ứng hình thức với nhân trái và nhân phải của B cho nghịch đảo của A, đó là inv(A)*B và B*inv(A), nhưng kết quả nhận được trực tiếp chứ không tính toán qua phép nghịch đảo. Nói chung, X = A\B là lời giải phương trình A*X = B X = B/A là lời giải phương trình X*A = B Phép chia trái, A\B, được định nghĩa với B có cùng số dòng với A.Nếu A là ma trận vuông, thì nó được phân tích bằng phép khử Gauss. Các nhân tử được dùng để giải các phương trình A*X(:,j) = B(:,j), ở đây B(:,j) biểu hiện cột thứ j của B. Kết quả là ma trận X có cùng cỡ với B. Nếu A suy biến (tùy theo ước lượng điều kiện LINPACK là RCOND ) thì một thông báo lỗi được hiển thị. Nếu A là ma trận vuông thì nó được phân tích bằng phương pháp trực giao House-holder với việc định trục xoay về cột. các nhân tử được dùng để giải các phương trình xác định dưới hoặc trên theo phương pháp bình phương bé nhất. Kết quả là một ma trận X cỡ mxn, ở đây m là số cột của A và n là số cột của B. Mỗi cột của X có nhiều nhất k thành phần khác không, với k là hạng thực thụ của A. Phép chia phải, B/A, được định nghĩa theo dạng chia trái là B/A = (A'\B')'. Ví dụ, khi vectơ b được tính là A*x thì lệnh z = A\b có kết quả z = -1 0 2 Phan Thanh Tao - 2004
17. Chương 2. Các phép toán trên ma trận 26 Đôi lúc dùng \ và / để tính các lời giải hệ phương trình xác định dưới hoặc trên bằng phương pháp bình phương bé nhất đưa đến nhiều điều đáng ngạc nhiên. Đó là khả năng "chia" một vectơ cho vectơ khác. Ví dụ, với các vectơ x và y ở trên thì s = x\y cho ra s = 0.8000 Đây là vì s = 0.8 là giá trị vô hướng giải được từ phương trình xs = y theo phương pháp bình phương bé nhất. Chúng tôi đề nghị bạn đọc giải thích tại sao S = y/x cho ra S = 0.0000 0.0000 -1.0000 0.0000 0.0000 -0.5000 0.0000 0.0000 0.5000 2.5. Lũy thừa ma trận Biểu thức A^p nâng A lên lũy thừa bậc p và được định nghĩa nếu A là ma trận vuông và p là đại lượng vô hướng. Nếu p là số nguyên lớn hơn 1 thì phép lũy thừa được tính bằng cách nhân lặp. Đối với các giá trị khác của p thì việc tính toán gồm các giá trị riêng và các vectơ riêng, vì vậy nếu [V,D] = eig(A) thì A^p = V*D.^p/V Nếu P là một ma trận ,và a là đại lượng vô hướng thì a^P nâng a lên lũy thừa P bằng cách dùng các giá trị riêng và các vectơ riêng. X^P, với X và P đều là ma trận, là một lỗi. 2.6. Các hàm sơ cấp về ma trận Trong MATLAB, các biểu thức như exp(A) và sqrt(A) được xem như các phép toán về mảng, xác định trên từng phần tử của A. MATLAB cũng có thể tính các hàm siêu việt về ma trận, như hàm mũ và hàm logarit. Các hàm đặc biệt này Phan Thanh Tao - 2004