Giáo trình Kỹ thuật điều khiển tự động - Chương 2: Mô tả toán học phần tử và hệ thống liên tục

Nội dung text: Giáo trình Kỹ thuật điều khiển tự động - Chương 2: Mô tả toán học phần tử và hệ thống liên tục

1. Do đó có thể phân tích : AABB Y(s) =1+2++21 s(s++3)(s+1) 2 (s1) Xác định các hệ số : 22 A1 =lim[sY(s)]==lim s®®0s0(s++3)(s1) 2 3 21 A2=lim[(s+4)Y(s)]=lim =- s®-3s3®- s(s+1) 26 2 2 B2 =lim[(s+1)Y(s)]=lim1=- s®-1s1®- s(s+ 3) éùdéùdỉư2-+2(2s3)1 B=lim(s+1)2 Y(s)=lim=lim =- 1 êúêúç÷ 22 s®-1ëûdss®-1ëûdsèøs(s+3)2s1®- s(s+3) 2111 Þ Y(s) = 3s6(s++3)(s+1) 2 2(s1) Biến đổi Laplace ngược ta được: 211 y(t)=L-1[Y(s)]=-e-3t tee tt 362 3) Mẫu số của Y(s) có nghiệm phức Nghiệm phức luôn có từng cặp liên hợp, ta ký hiệu là p 1,2 = a ± jw. 2 2 Giữa chúng có mối quan hệ : (s-p 1)(s-p2) = (s-a-jw)(s-a+jw) = (s-a) + w . Trường hợp nghiệm phức cũng có thể phân tích tương tự như trường hợp nghiệm đơn nhưng để thuận tiện hơn, ta thường dùng cách nêu dưới đây. Nếu Q(s) có (n-2) nghiệm đơn và 2 nghiệm phức p 1,2 thì có thể phân tích : Q(s)= ann(s-s1) (s-s-212)(s p)(sp) 22 =ann(s-s12) (s s- )[(sa)]+w A12An- C12(s-a)C+w Y(s) =+ ++22 (s s1)(ss)n-2(s-a) +w Các hệ số Ai , C1 và C2 có thể xác định bằng phương pháp đồng nhất hệ số đa thức, hoặc áp dụng công thức sau : Aii=-lim[(ss)Y(s)] (i=1,2, ,n-2) ss® i 1 C1=Im[(s p12)(sp)Y(s)] sp= w{ 1 } 1 C2=Re[(s p12)(sp)Y(s)]sp= (2-16) w{ 1 } trong đó : Im_Phần ảo ; Re_Phần thực Biến đổi Laplace ngược hàm ảnh Y(s) ta được: n2- sti atat y(t)=å Aie+C12ecoswt+wCesint (2-17) i1= 23
2. Biểu thức này thể hiện hàm sin tắt dần theo hàm mũ khi phần thực a 0 và dao động không đổi khi a= 0 . Để đưa về dạng hàm sin ta có thể áp dụng công thức : ỉưab asinwt±bcoswt=a22+bç÷sinwt±wcost (2-18) ç÷2222 èøa+ba+b a b Nếu đặt =jcos thì =jsin a22+b a22+b Þ asinwt±bcoswt=a22+b(sinwtcosj±sinjwcost) =a22+bsin(wt)±j 5(s+1) Ví dụ 2.5. Xác định hàm y(t) khi biết ảnh Laplace Y(s)= s(s2+2s +5) Giải. Mẫu số của Y(s) có một nghiệm đơn s = 0 và hai nghiệm phức p 1,2= -1± 2j Do đó có thể phân tích : AC(s++1)2C Y(s) =+12 s s2++2s5 ỉư5(s+1) A=lim[sY(s)]==lim1 ç÷2 s0® s0®èøs++2s5 1 1ìü5(s+1) C1=Im[(s p1)(sp2)Y(s)] sp= =Im1íýs=-+12j =- w{ 1} 2sỵþ 1 1ìü5(s+1) C=Re(s p)(sp)Y(s) ==Re2 2{[12]sp= 1} íýs=-+12j w 2sỵþ Cũng có thể dùng phương pháp đồng nhất hệ số đa thức : 5(s+1)AC(s+1)+2C(A+C)s2 +(2A+C++2C)s5A Y(s) ==+=12112 s(s2+2s+5)s s22+2s+5s(s++2s5) 5A = 5 A = 1 Þ A + C1 = 0 Û C1 = -1 2A+ C1+ 2C2 = 5 C2 = 2 1-(s+1)++2(2)1s12(2) Þ Y(s) =+=-+ sss2+2s+5(s+1)2+(2)2(s++1)22(2) Biến đổi Laplace ngược ta thu được : y(t) = 1-+e ttcos2t2esin2t -t ỉư21 = 1+-e.5ç÷sin2tcos2t èø55 = 1+5e-t sin(2t)-j 21 trong đó: j=arccos=arcsin=°26,57 55 24
3. Chú ý: Nếu phân tích như trường hợp nghiệm đơn và dùng công thức Euler để chuyển hàm mũ phức về dạng sin, cos ta cũng nhận được kết quả trên. 5(s+1)AAA Y(s) ==1++22 s(s2+2s+5)ss1+-2js++12j A1 ==lim[s.Y(s)]1 ; s0® 1 1 A2 =lim[(s+1-2j)Y(s)]j= ; A3 =lim[(s+1+2j)Y(s)]j=-+ s®-+12j 2 s® 12j 2 ỉ11ư-(1-2j)tỉư-+(12)jt Þ y(t)=1-ç+j÷e ç÷je è22øèø ỉ11ư ttỉư =1-ç+j÷e(cos2t+jsin2t) -ç÷ je( cos2tjsin2t) è22øèø =1-+e ttcos2t2esin2t 4) Trường hợp tổng quát Xét ảnh Laplace: P(s) bsm+bsm1- ++ b Y(s) ==mm-10 (m£ n) nn1- Q(s) ans+an-10s++ a Giả sử Q(s) có l nghiệm đơn, rj nghiệm bội sk lặp r lần và q cặp nghiệm phức. Ta có thể phân tích Y(s) thành tổng các thành phần tối giản: l ArjqrBC(s-a)D+w Y(s)K=+i++iiiii (2-19) ååååi22 i=1ss-i j=1i==1(s-skj)i1 (s-a)ii+w trong đó: - Hằng số K là kết quả phép chia P(s) cho Q(s) khi m=n. Nếu m<n thì K=0. - Các hằng số Ai, Bi, Ci, Di có thể xác định theo các công thức (2-12), (2-14), (2-16) đã nêu hoặc dùng phương pháp đồng nhất hệ số đa thức. Aùp dụng các biến đổi cơ bản cho từng thành phần của tổng, ta được: 1) L-1[K]=dK(t) éù -1 Ai sti 2) Lêú=Ai e.1(t) ëûss-i i1- éùB t st 3) L-1êúi =Bekj i i(i-1)! ëûêú(s-s)kj éùC(s-a) 4) L-1 i =wCeati cos(t) êú22 ii ëûêú(s-a)i+w éùDw 5) L-1 ii =wDeati sin(t) êú22 ii ëûêú(s-a)ii+w Hàm thời gian y(t) = L-1[Y(s)] sẽ là tổng các biến đổi ngược của các thành phần riêng lẻ. 25
4. 2.2.5 Ứng dụng biến đổi Laplace giải phương trình vi phân Xét hệ thống tuyến tính liên tục bất biến có tín hiệu vào r(t), tín hiệu ra y(t), được mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng : dny(t)dn 11y(t)dmmr(t)dr(t) a+a+ +ay(t)=b+b++ br(t) ndtnn 1dtn 110mmdtmm10dt Hay dưới dạng tương đương: (n)(n-1)(m)(m-1) any(t)+ an-1y(t)+ + a0y(t) = bmr(t)+ bm-10r(t)+ + br(t) (2-20) Bài toán đặt ra là tìm nghiệm y(t) khi biết trước tín hiệu vào r(t) và các điều kiện ban đầu của hệ thống. Với phương pháp cổ điển thì việc tìm nghiệm toàn phần yêu cầu phải xác định hằng số tích phân từ các điều kiện đầu. Nếu dùng phương pháp biến đổi Laplace thì điều này là không cần thiết vì điều kiện đầu đã bao gồm trong biến đổi Laplace của các thành phần đạo hàm. Trình tự ứng dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân có thể tóm tắt theo sơ đồ dưới đây: Phương trình vi phân giải trực tiếp Nghiệm y(t) theo biến t Hàm gốc Biến đổi Biến đổi -1 Laplace L Laplace ngược L Hàm ảnh Phương trình đại số Nghiệm Y(s) theo biến s giải phương trình đại số Biến đổi Laplace từng số hạng của phương trình vi phân (2-20), ta được : (n)n L[any(t)]=-asnnY(s)I(s) (n 1)n1 L[an-1y(t)]=-asn 1Y(s)I(s)n1 (m)m L[bmr(t)]=-bmmsR(s)I(s) (m 1)m1 L[bm-1r(t)]=-bm 1sR(s)I(s)m1 trong đó : (n-1) I(s)n, I(s)n-1, là các đa thức chứa các điều kiện đầu y(0), , y (0). (m-1) I(s)m, I(s)m-1, là các đa thức chứa các điều kiện đầu r(0), , r (0). Thay các biến đổi vào phương trình vi phân và sắp xếp lại, ta được: nn 11mm (ans+an 1s+ +a0)Y(s)=(bmms+b10s+ ++b)R(s)I(s) 26
5. Với I(s)=I(s)n+I(s)n 11+ -I(s)mm I(s) mm-1 (bmms+b-10s+ ++b)R(s)I(s) Þ Y(s) = nn-1 (2-21) anns+a-10s++ a Sau khi tính được Y(s) ta có thể xác định nghiệm y(t) bằng cách lấy biến đổi Laplace ngược : y(t)=L-1[Y(s)] d2 ydy Ví dụ 2.6. Giải phương trình vi phân : +3+=2y(t)0 dt2 dt dy với điều kiện đầu y(0) = a và (0) =b. dt Giải. Lấy biến đổi Laplace cả hai vế phương trình đã cho, ta được : 2 [sY(s) syy(0)&(0)] + 3[sY(s) - y(0)] + 2Y(s) = 0 Û [s2Y(s) - as - b] + 3[sY(s) - a] + 2Y(s) = 0 Û (s2+3s+2)Y(s) = as + (3a+b) as+(3a+b)as+(3a+b)2a++bab Û Y(s) ===- s2 ++3s2 (s+1)(s+2)s++1s2 Suy ra: y(t)=L-12[Y(s)]=(2a+b)e tt-+(ab)e với t³ 0 d2 ydy Ví dụ 2.7. Giải phương trình vi phân : +2+=10y(t)8r(t) dt2 dt dy(0) với điều kiện ban đầu y(0)0==, tín hiệu vào r(t) =1(t). dt Giải. Biến đổi Laplace cả hai vế phương trình đã cho, ta được : (s2 +2s+=10)Y(s)8R(s) 1 Tín hiệu vào bậc thang đơn vị r(t)=1(t) Þ R(s)= s 844(s+1)(4/3)(3) Þ Y(s) == s(s2+2s+10)5s 5[(s+1)2+32]5[(s++1)223] Hàm thời gian: y(t)=L-1[Y(s)] 444 Þ y(t)= e ttcos3tesin3t với t³ 0 5515 4410-t ỉư13 4410 -t =-+eç÷sin3tcos3t =-esin(3t)+j 515 èø1010 515 13 với: j=arccos=arcsin=°71,57 1010 27
6. 2.3 Hàm truyền Xét hệ thống tuyến tính liên tục bất biến có tín hiệu vào r(t), tín hiệu ra y(t), được mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng : dny(t)dn 11y(t)dmmr(t)dr(t) a+a+ +ay(t)=b+b++ br(t) ndtnn 1dtn 110mmdtmm10dt Giả thiết các điều kiện đầu bằng 0, biến đổi Laplace hai vế ta được : nn 11mm (ans+an 1s+ +a0)Y(s)=(bmms+b10s++ b)R(s) mm-1 Y(s) bmms+b-10s++ b Biểu thức G(s) ==nn-1 (2-22) R(s) anns+a-10s++ a được gọi là hàm truyền (hay hàm truyền đạt) của hệ thống. Định nghĩa: Hàm truyền là tỉ số giữa ảnh Laplace của tín hiệu ra và ảnh Laplace của tín hiệu vào khi các điều kiện đầu bằng 0. Để có hàm truyền ta thực hiện các bước sau đây: 1) Viết phương trình vi phân mô tả hệ thống (hay phần tử). 2) Lấy biến đổi Laplace của phương trình vi phân, với giả thiết tất cả các điều kiện ban đầu bằng 0. 3) Lập tỉ số tín hiệu ra Y(s) trên tín hiệu vào R(s). Tỉ số này chính là hàm truyền. Nhận xét: - Khái niệm hàm truyền chỉ dùng cho phần tử và hệ thống tuyến tính bất biến. - Biểu thức hàm truyền chỉ phụ thuộc vào các thông số a i, bi và bậc n của hệ thống mà không phụ thuộc vào thể loại và giá trị (biên độ) tín hiệu vào, tín hiệu ra. - Việc giả thiết các điều kiện đầu bằng 0 là dựa trên quan điểm dùng hàm truyền để nghiên cứu bản chất động học của hệ thống. Điều kiện đầu khác 0 chỉ phản ánh đặc tính động học ứng với các trường hợp riêng cụ thểù. - Vì hàm truyền là phân thức đại số không có phép vi phân và tích phân nên dùng hàm truyền để mô tả và nghiên cứu hệ thống sẽ thuận lợi hơn nhiều so với dùng phương trình vi phân. Với khái niệm hàm truyền, quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra có thể biểu diễn dưới dạng phương trình đại số : Y(s) = R(s). G(s) (2-23) (tín hiệu ra = tích của tín hiệu vào và hàm truyền) Điều này giúp cho công việc xác định tín hiệu ra của hệ thống ứng với một tín hiệu vào cho trước được đơn giản hơn nhiều. § Đa thức mẫu số của hàm truyền được gọi là đa thức đặc tính: nn-1 A(s)=anns+a-10s++ a (2-24) Nếu cho mẫu số của hàm truyền bằng 0, ta có phương trình đặc tính: nn-1 anns+a-10s+ +=a0 (2-25) 28
7. Trên cơ sở khảo sát các nghiệm hoặc các hệ số của phương trình đặc tính, ta có thể đánh giá tính ổn định của hệ thống. Vấn đề xét tính ổn định của hệ thống sẽ được trình bày riêng ở chương 4. § Hàm truyền G(s) cũng được viết dưới dạng zero-cực như sau: m Õ(s-z)i Y(s) i=1(s z1m) (sz) G(s)===KKn (2-26) R(s)(s p1n) (sp) Õ(s-p)i i1= Trong đó : zi (i=1 m) -là nghiệm của đa thức tử số, gọi là các zero. pi (i=1 n) -là nghiệm của đa thức mẫu số, gọi là các cực (pole). pi cũng chính là nghiệm của phương trình đặc tính. b K = m - độ lợi (gain). an § Với hệ thống MIMO có q ngõ vào và p ngõ ra ta phải viết hàm truyền riêng cho từng cặp ngõ vào-ra: Yi (s) Gij = (i=1, ,p ; j=1, ,q) (2-27) Rj(s) Quan hệ vào-ra của hệ MIMO được viết ở dạng ma trận: G G éY11(s)ùéù111q éùR(s) êúêúêú Y(s)= G(s).R(s) Û êMú= êúMOMMêú (2-28) êúêúêú ëYp(s)ûëûGp1L GpqqëûR(s) trong đó : T Y(s)= [Y1p(s)L Y(s)] - là ảnh Laplace của véctơ tín hiệu ra T R(s)= [R1q(s)L R(s)] - là ảnh Laplace của véctơ tín hiệu vào éùG11 G1q Y(s) êú G(s) ==êúMOM - là ma trận hàm truyền. (2-29) R(s) êú ëûGGp1L pq § Một hệ thống hay phần tử tuyến tính có tín hiệu vào r(t), tín hiệu ra y(t), sau khi đã được mô hình hoá và có hàm truyền G(s) thường được biểu diễn đơn giản, trực quan bằng một khối như hình vẽ: R(s) Y(s) r(t) y(t) G (s) Hay: G(s) Cách biểu diễn này rất tiện cho việc cho việc xây dựng mô hình của một hệ thống phức tạp gồm nhiều khối ghép nối tiếp, song song hoặc phản hồi. 29
8. 2.4 Sơ đồ khối 2.4.1 Các thành phần của sơ đồ khối Sơ đồ khối của một hệ thống là hình vẽ mô tả chức năng của các phần tử và sự tác động qua lại giữa các phần tử trong hệ thống. Sơ đồ khối có ba thành phần cơ bản là khối chức năng, bộ tổng ( hay bộ so) và điểm rẽ nhánh. · Khối chức năng: U(s) Y(s) G(s) Quan hệ vào-ra: Y(s) = U(s). G(s) (tín hiệu ra của khối = tích của tín hiệu vào và hàm truyền) · Bộ tổng: Tín hiệu ra của bộ tổng bằng tổng đại số của các tín hiệu vào. x + e= x–y x u= x+ y y y Lưu ý : - Dấu cộng trong sơ đồ thường được lược bỏ. - Các biểu diễn sau đây là tương đương : · Điểm rẽ: Tín hiệu trên nhánh chính và các nhánh rẽ là như nhau. x x x 2.4.2 Đại số sơ đồ khối Đại số sơ đồ khối là thuật toán biến đổi tương đương các sơ đồ khối. Hai sơ đồ khối được gọi là tương đương nhau nếu chúng có quan hệ giữa tín hiệu vào, tín hiệu ra như nhau. Để tìm hàm truyền của hệ thống có sơ đồ khối phức tạp, ta thường tìm cách biến đổi sơ đồ khối để làm xuất hiện các dạng kết nối đơn giản rồi lần lượt tính các hàm truyền tương đương theo nguyên tắc rút gọn dần từ trong ra ngoài. Sau đây là một số quy tắc biến đổi sơ đồ khối thường dùng. 1) Hệ nối tiếp U Y1 Y2 Yn-1 Y U n Y G1(s) G2(s) Gn(s) Û ÕGi(s) i1= Theo sơ đồ khối ta có: Y(s)=U(s).G12(s).G(s) Gn(s) Þ Hàm truyền tương đương: Ys() n G(s)===G12(s).G(s) Gn(s)ÕGsi() (2-30) Us() i=1 30
9. 2) Hệ song song G(s) 1 U Y U n Y G2(s) Û åGi(s) i1= Gn(s) Theo sơ đồ khối ta có: Y(s)=U(s)G12(s)+U(s)G(s)++ U(s)Gn(s) Þ Hàm truyền tương đương: Ys() n G(s)==G12(s)+G(s)+ +=Gni(s)åGs() (2-31) Us() i=1 3) Hệ hồi tiếp một vòng · Hồi tiếp âm R Y R G(s) Y G(s) Û 1+G(s)H(s) H(s) Từ sơ đồ khối ta có các phương trình mô tả quan hệ vào-ra: -Y(s)H(s) + R(s) = E(s) E(s)G(s) = Y(s) Þ [-Y(s)H(s) + R(s)] G(s) = Y(s) Þ Hàm truyền của hệ kín hồi tiếp âm : Y(s)G(s) G(s) == (2-32) k R(s)1+G(s)H(s) Trường hợp đặc biệt khi hàm truyền mạch phản hồi H(s)=1, ta có hệ thống hồi tiếp âm đơn vị. Khi đó công thức (2-32) trở thành: Y(s)G(s) G(s) == (2-33) k R(s)1+G(s) · Hồi tiếp dương R E Y R G(s) Y G(s) Û + 1-G(s)H(s) H(s) Từ sơ đồ khối ta có các phương trình quan hệ : Y(s)H(s) + R(s) = E(s) E(s)G(s) = Y(s) Þ [Y(s)H(s) + R(s)] G(s) = Y(s) Y(s)G(s) Þ Hàm truyền : G(s) == (2-34) k R(s)1-G(s)H(s) 31
10. · Hệ hồi tiếp có nhiễu tác động Xét hệ hồi tiếp (hệ kín) có sơ đồ khối: ± Z1 ± Z2 R E Y Gc(s) G(s) H(s) Nếu coi nhiễu z1(t)=z2(t)=0, ta có phương trình quan hệ: [-Y(s)H(s)+R(s)].Gc(s).G(s) = Y(s) Þ Hàm truyền của tín hiệu vào r(t): (thường được coi là hàm truyền của hệ kín, nếu không tính đến nhiễu) Y(s) Gc(s)G(s) Gk(s)=GR(s) == (2-35a) R(s)1+Gc(s)G(s)H(s) Nếu coi tín hiệu vào r(t)=0 và nhiễu z 2(t)=0, ta có : [-Y(s)H(s)G c(s)± Z1(s)].G(s) = Y(s) Þ Hàm truyền của nhiễu z 1(t): Y(s)± G(s) GZ1(s) == (2-35b) Z1(s)1+Gc(s)G(s)H(s) Nếu coi tín hiệu vào r(t)=0 và nhiễu z 1(t)=0, ta có : -Y(s)H(s)G c(s)G(s) ± Z2(s) = Y(s) Þ Hàm truyền của nhiễu z 2(t): Y(s)1± GZ2 (s) == (2-35c) Z2 (s)1+Gc (s)G(s)H(s) Aùp dụng nguyên lý xếp chồng đáp ứng, ta có thể biểu diễn quan hệ vào-ra của hệ kín có nhiễu như sau: Gc(s)G(s)R(s) G(s)Z12(s)Z(s) YS (s)=åYi(s) =±± 1+++Gccc(s)G(s)H(s)1G(s)G(s)H(s)1G(s)G(s)H(s) (2-35d) Nhận xét: Nếu lấy Gc (s)H(s)1>> và Gc (s)G(s)H(s)1>> thì Gz1(s) và Gz2 (s) sẽ xấp xỉ 0, tức là ảnh hưởng của nhiễu sẽ bị suy giảm mạnh. Mặt khác, nếu Gc (s)G(s)H(s)1>> thì GR (s)=»Y(s)/R(s)1/H(s) , nên Y(s)» R(s)/H(s) , tức là khi đó đáp ứng của hệ kín không còn phụ thuộc vào G c(s) và G(s) mà chỉ phụ thuộc vào H(s). Như vậy, hệ kín có ưu điểm là ít nhạy cảm với nhiễu cũng như với sự thay đổi của các thông số bên trong của hệ thống. Đây là điều không thể được đối với hệ hở. Tuy nhiên cũng cần lưu ý là điều kiện Gc (s)G(s)H(s)1>> sẽ làm tăng tính dao động của đáp ứng nên vấn đề ổn định của hệ kín sẽ phức tạp hơn hệ hở. 32
11. 4) Chuyển điểm rẽ ra trước một khối U Y U Y G(s) G(s) Û Y Y G(s) 5) Chuyển điểm rẽ ra sau một khối U Y U Y G(s) Û G(s) U U 1 /G(s) 6) Chuyển bộ tổng (bộ so) ra trước một khối U1 Y=U1G –U2 U1 Y=U1G –U2 G Û G U2 U2 1/G 7) Chuyển bộ tổng (bộ so) ra sau một khối U Y=(U -U )G U Y=U G-U G 1 1 2 1 G 1 2 G Û U2 U2 G 8) Hoán vị, nhập hoặc tách các bộ tổng U3 U 1 Y U1 Y U1 Y Û Û U U 2 3 U3 U2 U2 Y= U1-U2+U3 Y= U1+U3-U2 Y= U1-U2+U3 9) Chuyển về dạng hồi tiếp đơn vị R Y R 1 Y G Û GH H H Lưu ý: Các biến đổi sau đây là không tương đương. · Chuyển vị trí điểm rẽ và bộ tổng: U =U U3=U4=U1-U2 3 1 U U 1 Û 1 U4=U1-U2 U4=U1-U2 U2 U2 · Chuyển vị trí hai bộ tổng khi giữa hai bộ tổng đó có điểm rẽ: U4=U1-U2 U4=U1+U3 U U 1 Û 1 U5 U5 U 2 U3 U3 U2 33
12. Ví dụ 2.8. Tìm hàm truyền tương đương của hệ thống sau : R(s) Y(s) G G G 1 2 3 H 1 H2 H3 Giải. Lần lượt rút gọn sơ đồ khối từ trong ra ngoài, ta được: Hàm truyền của mạch kín hồi tiếp âm G 1–H1 : G1 Gtđ1 = 1+ GH11 Hàm truyền của mạch kín hồi tiếp âm G tđ1–G2– H2 : GG12 GG 1+GH GG G =tđ12 ==11 12 tđ2 1+GGHGGH 1++GHGGH tđ1 221+122 11122 1+GH11 Hàm truyền Gk(s) của hệ thống cũng là hàm truyền của mạch kín hồi tiếp âm Gtđ2 –G3– H3 . Ta có: Y(s) GGtđ2 3 G1GG23 Gk (s) === R(s)1+Gtđ2G3H31+G1H1++G1G2H2G1G2GH33 Ví dụ 2.9. Tìm hàm truyền tương đương của hệ thống sau : 2(s+1) G5 r 1 1 1 y 20 s +1 A s + 2 B s G1 G G G 2 3 4 CÁCH GIẢI 1 : Chuyển điểm rẽ A ra sau khối G 3 ta được sơ đồ tương đương : 2(s+1) G5 r 1 1 B 1 y 20 +1 + 2 s s s A G1 G2 G3 G4 1G 3 (Lưu ý là trên sơ đồ này, các điểm A và B có thể hoán vị nhau hoặc đặt trùng nhau đều được vì không còn khối nào ở giữa chúng.) 34
13. Hàm truyền của mạch kín hồi tiếp dương G 2–G3–G5 : GG23 Gtđ1= 1-G2GG35 Hàm truyền của mạch kín hồi tiếp âm G 1–Gtđ1 –1/G3 : r y G1 Gtđ1 G4 1G 3 G1GG23 GG 1-GGGGGG G =1tđ1==235123 tđ21GG 12 1-+G2G3G5GG12 1++G1G1tđ1 G31-G2GG35 Cuối cùng, hệ thống tương đương với hệ hồi tiếp âm đơn vị G tđ2–G4–1 : r y Gtđ2 G4 Do đó hàm truyền tương đương của toàn hệ thống là: G1G2GG34 GG 1-+GGGGGGGGG G =tđ2 4 ==235121234 tđ 1GGGGGG 1GGGGGGGGG +tđ2 41+1234 -235++121234 1-+G23GG5GG12 Y(s)20 Thay số vào ta được: G == tđ R(s) s32+21s++40s20 CÁCH GIẢI 2 : Trước tiên, chuyển điểm rẽ B ra trước khối G 3 ta được sơ đồ tương đương : G5 G3 y r 1 AB 1 1 20 s+1 s2+ s G1 G2 G 3 G4 Hàm truyền của mạch kín hồi tiếp dương G 2–G3–G5 : G2 Gtđ1= 1-G2GG35 Hàm truyền của mạch kín hồi tiếp âm đơn vị G 1–Gtđ1 –1 : 35
14. r G1 Gtđ1 G3 G4 GG1 tđ1 GG12 Gtđ2== 1+G1Gtđ11-+G2G3G5GG12 Cuối cùng, hệ thống tương đương với hệ hồi tiếp âm đơn vị G tđ2–G3–G4 –1 : r y Gtđ2 G G4 3 Suy ra hàm truyền tương đương của hệ thống là: Gtđ2GG34 G1G234GG 20 Gtđ ===32 1+Gtđ2G3G41-G2G3G5++G1G2G1G234GG s+21s++40s20 CÁCH GIẢI 3 : Trước tiên, chuyển bộ so cuối ra trước khối G 1 và chuyển điểm rẽ B ra trước khối G3 ta được sơ đồ tương đương: 1/G1 G5 G3 r B y G1 G2 G3 G4 A Hàm truyền của mạch kín hồi tiếp dương G 1–G2–G3–G5–1/G1 : G1G2GG12 Gtđ1== 1 G1G23GG5(1/G1)1G235GG Hàm truyền của mạch kín hồi tiếp âm đơn vị G tđ1 –1 : Gtđ1 GG12 Gtđ2== 1+Gtđ11-+G2G3G5GG12 Cuối cùng, hệ thống tương đương với hệ hồi tiếp âm đơn vị G tđ2–G3–G4 –1. Suy ra hàm truyền tương đương của hệ thống là: Gtđ2GG34 G1G234GG 20 Gtđ ===32 1+Gtđ2G3G41-G2G3G5++G1G2G1G234GG s+21s++40s20 Nhận xét : Cả ba cách giải trên đều cho kết quả như nhau. 36
15. 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình Các khâu (phần tử) của hệ thống điều khiển có thể là cơ khí, điện, thuỷ lực, khí nén, nhiệt, Trong mục này chúng ta sẽ xây dựng hàm truyền của các khâu vật lý thường gặp trong kỹ thuật. 2.5.1 Phần tử cơ khí Các hệ cơ khí chuyển động thẳng có 3 thông số cơ bản là khối lượng, độ cứng và ma sát nhớt. Với chuyển động quay thì 3 thông số tương ứng là mômen quán tính, độ cứng xoắn và ma sát nhớt. Khối lượng đặc trưng cho quán tính. Độ cứng đặc trưng cho hoạt động của lực đàn hồi tương tự như lực của lò xo. Ma sát nhớt (hay giảm chấn) đặc trưng cho phần tử hấp thụ năng lượng. 〈 Hệ lò xo - khối lượng - giảm chấn F(t) y(t) m F(t) y(t) k b m k b k b m y(t) F(t) Hình 2.2 Hệ lò xo - khối lượng - giảm chấn - Tín hiệu vào : lực F(t) tác dụng từ bên ngoài, [N] - Tín hiệu ra : lượng di động y(t) của khối lượng m, [m] Giả sử tại t=0 hệ đang ở trạng thái cân bằng và không tính đến lực trọng trường. Theo định luật II Newton ta có phương trình cân bằng lực: d2 ydy m=F=F(t) bk.y(t) dt2 åi dt Trong đó, m : khối lượng, [kg] b : hệ số ma sát nhớt (giảm chấn), [N.s/m ] k : độ cứng lò xo, [N/m ] dy2 m : lực quán tính, [N] dt2 dy b : lực giảm chấn, [N] dt k.y(t) : lực lò xo, [N] Þ Phương trình vi phân mô tả quan hệ vào - ra : d2ydy m+b+=ky(t)F(t) dt2 dt Biến đổi Laplace hai vế với điều kiện đầu bằng 0, ta được: (ms2+bs+=k)Y(s)F(s) Lập tỉ số tín hiệu ra trên tín hiệu vào ta được hàm truyền bậc hai: 37