Giáo trình Đồ họa máy tính - Võ Phương Bình

Nội dung text: Giáo trình Đồ họa máy tính - Võ Phương Bình

1. Ch ng 2 CÁC THU T TOÁN V I T NG H A CƠ B N Ni dung chính
   Các thu t toán v on th ng: DDA, Bresenham, MidPoint.
   Thu t toán MidPoint v ng tròn, ellipse.
   V ng cong tham s Bezier, B-Spline. 2.1 Thu t toán v on th ng Hình 2.1: Các im g n on th ng th c Xét on th ng có h s góc m (0, 1] và x > 0. V i các on th ng d ng này, nu ( xi, yi) là im ã c xác nh b c th i thì im k ti p ( xi+ 1, yi+1 ) b c th i+1 s là m t trong hai im sau: Vn t ra là ch n im v nh th nào on th ng c v g n v i on Giáo trình H a Máy Tính 11
2. th ng th c nh t và ti u hóa v m t t c , th i gian th c. 2.1.1 Thu t toán DDA (Digital DifferentialAnalyzer) DDA (hay còn g i là thu t toán s gia) là thu t toán v on th ng xác nh các im d a vào h s góc c a ph ng trình ng th ng y = m.x + b. Trong ó, m = y/x, y = yi+ 1 - yi , x = xi+ 1 - xi. Nh n th y trong hình v 2.1 thì t a c a im x s t ng 1 n v trên m i im v , còn vi c quy t nh ch n yi là yi + 1 hay yi s ph thu c vào giá tr sau khi làm tròn c a tung y. Tuy nhiên, n u tính tr c ti p giá tr th c c a y m i b c t ph ng trình y = m.x + b thì c n m t phép toán nhân và m t phép toán c ng s th c: yi+ 1 = m.xi+ 1 + b = m(xi + 1) + b = m.xi + b + m ti u tc , ng i ta kh phép nhân trên s th c. Ta có : yi = m.xi + b ⇒ yi+1 = y i + m • Tóm l i, khi 0 1: ch n b c t ng trên tr c y mt n v . xi+1 = x i + yi+ 1 = y i + 1 Hai tr ng h p này dùng v m t im b t u t bên trái n im cu i cùng bên ph i c a ng th ng (xem hình 2.2). N u im b t u t bên ph i n im cu i cùng bên trái thì xét ng c l i : • 0 < m 1: xi+ 1= x i – 1 Giáo trình H a Máy Tính 12
3. yi+ 1:= y i - m • m > 1: xi+ 1 = xi – yi+ 1 = y i – 1 Hình 2.2 : Hai tr ư ng h p m >1 và 0 < m < 1 Cài t minh h a thu t toán DDA void DDALine(int x0, int y0, int x1, int y1) { int x; float dx, dy, y, m; dx:= x1 – x0; dy:= y1 – y0; m:= dy/dx; y = y0; for (x=x0; x <= x1; x++) { glVertex2i(x, Round(y)); Giáo trình H a Máy Tính 13
4. y = y+m } } T ng t , ta có th tính toán các im v cho tr ng h p m 1. 2.1.2 Thu t toán Bresenham Hình 2.3 : Thu t toán Bresenham v on th ng có 0 ≤ m ≤ 1. Gi ( xi +1, yi +1 ) là im thu c on th ng (xem hình 2.3). Ta có y = m (xi +1) + b. t d1 = y i +1 - yi ; d2 = (yi +1) - yi +1 Vi c ch n im ( xi +1 , yi +1 ) là P1 hay P2 ph thu c vào vi c so sánh d1 và d2 hay du c a d1 - d2 : • Nu d1 - d2 < 0 : ch n im P1, t c là y i +1 = yi • Nu d1 - d2 0 : ch n im P2, t c là y i +1 = yi +1 Xét Pi = x(d1 - d2) Ta có : d1 - d2 = 2 yi+1 - 2yi - 1 = 2 m(xi+1) + 2b - 2yi - 1 Giáo trình H a Máy Tính 14
5. ⇒ Pi = x(d1 - d2) = x[2 m(xi+1) + 2 b - 2yi - 1] = x[2(y/x)(xi+1) + 2 b - 2yi - 1] = 2 y(xi+1) - 2x.yi + x(2 b - 1) = 2 y.xi - 2x.yi + 2 y + x(2.b - 1) Vy C = 2 y + x(2 b - 1) = Const (hng s ) ⇒ Pi = 2 y.xi - 2x.yi + C Nh n xét r ng n u t i b c th i ta xác nh c d u ca Pi thì xem nh ta xác nh c im c n ch n b c ( i + 1). Ta có : Pi +1 - Pi = (2 y.x i+1 – 2x.y i+1 + C ) - (2 y.x i - 2x.y i + C ) ⇔ Pi +1 = Pi + 2 y – 2x( yi+1 - yi ) - Nu Pi < 0 : ch n im P1, t c là yi +1 = yi và Pi +1 = Pi + 2 y. - Nu Pi 0 : ch n im P2, t c là yi +1 = yi +1 và Pi +1 = Pi + 2 y – 2x - Giá tr P0 c tính t im v u tiên ( x0, y0) theo công th c : P0 = 2y.x 0 – 2x.y 0 + C Do (x0, y0) là im nguyên thu c v on th ng nên ta có : y0 = 2m.x 0 + b = x0 + b Th vào ph ng trình trên ta c : P0 = 2y – x Cài t minh h a thu t toán Bresenham void Bresenham_Line (int x1,int y1,int x2,int y2) Giáo trình H a Máy Tính 15
6. { int dx, dy, x, y, P, incre1, incre2; dx = x2 - x1; dy = y2 - y1; P = 2*dy - dx; incre1 = 2*dy ; incre2 = 2*(dy - dx) ; x= x1; y=y1; glVertex2i(x, y); while (x < x2 ) { x = x +1 ; if (P < 0) P = P + incre1 else { y = y+1 ; P = P + incre2 } glVertex2i(x, y); } } Giáo trình H a Máy Tính 16
7. Nh n xét - Thu t toán Bresenham ch thao tác trên s nguyên và ch tính toán trên phép cng và phép nhân 2. iu này là m t c i ti n làm t ng t c áng k so v i thu t toán DDA. - Ý t ng chính c a thu t toán này là ch xét d u Pi quy t nh im k ti p, và s d ng công th c truy h i Pi +1 - Pi tính Pi bng các phép toán n gi n trên s nguyên. - Tuy nhiên, vi c xây d ng tr ng h p t ng quát cho thu t toán Bresenham có ph c t p h n thu t toán DDA. 2.1.3 Thu t toán MidPoint Pitteway công b thu t toán MidPoint vào 1967, Van Aken c i ti n 1984. Xét h s góc thu c [0, 1]. Gi thi t r ng ã ch n P v , xác nh pixel ti p theo s là ti N hay NE (xem hình 2.4). Giao c a ng th ng v i Xp+1 t i Q, M là trung im c a NE và E. Hình 2.4: Thu t toán MidPoint v on th ng Ý t ng ca thu t toán MidPoint là xét im M xem nm phía nào c a ng th ng, n u M nm phía trên ng th ng thì ch n E (tc là ng th ng g n v i E h n NE ), ng c l i ch n NE . Vì v y, ta c n xác nh v trí t ng i c a M so v i ng th ng ch a on th ng c n v . • Phân tích thu t toán v on th ng d a trên ph ng trình dng t ng quát c a Giáo trình H a Máy Tính 17
8. ng th ng ch a on th ng: F(x, y)= a.x + b.y + c Ta có: Suy ra d ng t ng quát: . Hay t ng ng: . T ó, ta có các h s c a ph ng trình d ng t ng quát là : a = dy, b = - dx, c = B.dx • Giá tr hàm t i M: F(M)=F (xp + 1, y p + ) = d o Nu d > 0, M nm d i ng th ng thì ch n NE . o Nu d < 0, M nm phía trên thì ch n E. o Nu d = 0, ch n E hay NE tùy ý. • Giá tr c a hàm t i M ca ca im ti p theo s v o Gi giá tr d va tính là: o Gi s v a ch n E: là s gia c a im ti p theo. o Gi s v a ch n NE: là s gia c a im ti p theo. Tính giá tr kh i u c a d ti các trung im Giáo trình H a Máy Tính 18
9. o Gi s v on th ng t (x 0, y 0) n (x 1, y 1), t ó trung im th nh t có ta ( x0 + 1, y 0 + ). Suy ra: o F(x 0, y 0) = 0  dstart = a + = dy – o Tránh s th p phân c a d start , nh ngh a l i hàm nh sau: F(x, y)=2(a.x + b.y + c) o Do v y, ta có: dstart = 2dy - dx; E = 2dy; NE = 2(dy - dx) Cài t minh h a thu t toán MidPoint void MidPoint_Line(int x0, int y0, int x1, int y1, int color) { int dx, dy, x, y, d, incrE, incrNE ; dx = x1 – x0; dy = y1 – y0; d = 2*dy - dx; incrE = 2*dy; incrNE = 2*(dy - dx); x = x0; y =y0; Giáo trình H a Máy Tính 19
10. glVertex2i(x, y); while (x<x1) { if (d<=0) { //ch n E d:= d+incrE; x = x+1 } else { //ch n NE d = d+incrNE; x =x+1; y =y+1 } glVertex2i(x, y); } } Nh n xét • Các thu t DDA, MidPoint trình bày xây d ng thu t toán v on th ng trong tr ng h p h s góc thu c on [0, 1]. Các tr ng h p còn l i phân tích t ng t i v i t ng thu t toán. Giáo trình H a Máy Tính 20
11. • Có m t tính ch t i x ng có th áp d ng v on th ng trong các tr ng hp h s góc không thu c [0, 1] mà không ph thu c vào thu t toán. iu này có ngh a là ta s l y i x ng các on th ng này v tr ng h p thu c on [0,1], tính toán xong m i t a (x, y ) ta l i l y i x ng tr l i r i v . • Sau ây là ch ng trình cài t thu t toán DDA t ng quát cho t t c các tr ng hp theo ph ng pháp l y i x ng : void LineDDA_DX(int x1, int y1, int x2, int y2) { if (x2 1) { d = 1; int temp = x1; x1 = y1; y1 = temp; temp = x2; x2 = y2; y2 = temp; dy = y2 - y1; dx = x2 - x1; m = (double)dy / (double)dx; } else if (m > 0) { d = 2; } Giáo trình H a Máy Tính 21
12. else if (m > -1) { d = 3; y1 = -y1; y2 = -y2; dy = y2 - y1; dx = x2 - x1; m = (double)dy / (double)dx; } else { d = 4; int temp2 = x1; x1 = -y1; y1 = temp2; temp2 = x2; x2 = -y2; y2 = temp2; dy = y2 - y1; dx = x2 - x1; m = (double)dy / (double)dx; } int x; double y; y = y1; for (x = x1; x <= x2; x++) { if (d == 1) { glVertex2i(Round(y), x); } else if (d == 2) { glVertex2i(x, Round(y)); } else if (d == 3) { glVertex2i(x, -Round(y)); } else // d==4 { glVertex2i(Round(y), -x); } y += m; Giáo trình H a Máy Tính 22
13. } } 2.2 Thu t toán MidPoint v ng tròn Trong h t a Descartes, ph ng trình ng tròn bán kính R có d ng: • Vi tâm O(0,0) : x2 + y 2 = R 2 2 2 2 • Vi tâm C(xc, yc): ( x - xc) + (y - yc ) = R Trong h t a c c : • x = xc + R.cos • y = yc + Y.sin vi ∈ [0, 2 ]. Hình 2.5: i x ng 8 im trong ư ng tròn Do tính i x ng c a ng tròn C (xem hình 2.5) nên ta ch c n v 1/8 cung tròn, sau ó l y i x ng qua 2 tr c t a và 2 ng phân giác thì ta v c c ng tròn. Thu t toán MidPoint a ra cách ch n yi+1 là yi hay yi-1 bng cách so sánh im Giáo trình H a Máy Tính 23
14. th c Q( xi+1 , y) v i im gi a M là trung im c a S1 và S2. Ch n im b t u v là (0, R). Gi s ( xi, yi) là im nguyên ã tìm c b c th i (xem hình 2.6), thì im (xi+1 , yi+1 ) b c i+1 là s l a ch n gi a S1 và S2. Hình 2.6 : ưng tròn v i im Q (x + 1, y ) và im MidPoint. t F(x, y) = x 2 + y 2 - R2, ta có : • F(x, y) 0 , n u im ( x, y) n m ngoài ng tròn. Xét Pi = F(M) = F(xi +1, y - ). Ta có : • Nu Pi = 0 : im M nm ngòai ng tròn. Khi ó, im th c Q gn v i im S2 h n nên ta ch n yi+1 = yi - 1. Mt khác : Pi+1 - Pi = F(xi+1 +1, yi+1 - ) - F(xi + 1, yi - ) Giáo trình H a Máy Tính 24
15. 2 2 2 2 2 2 = [( xi+1 +1) + ( yi+1 - ) - R ] - [( xi +1) + ( yi - ) - R ] 2 2 = 2 xi + 3 + (( yi+1) + ( yi) ) - (yi+1 - yi) Vy : • Nu Pi = 0 : ch n yi+1 = yi - 1. Khi ó, Pi+1 = Pi + 2 xi - 2yi + 5. • Pi ng v i im ban u (x0, y0) = (0, R) là: P0 = F(x0 + 1, y0 - ) = F(1, R - ) = – R • rút g n bi u th c trên và tránh vi c tính toán s th c, ta t P’0 = P0 - = 1 – R. Ta có nh n xét r ng du c a P’0 không thay i trong thu t toán MidPoint. Cài t minh h a thu t toán MidPoint v d ng tròn void Ve_doi_xung_8diem(int xc, int yc, int x, int y) { glVertex2i(x + xc, y + yc); glVertex2i(y + xc, x + yc); glVertex2i(-x + xc, -y + yc); glVertex2i(-y + xc, -x + yc); glVertex2i(-x + xc, y+ yc); glVertex2i(-y + xc, x + yc); glVertex2i(x + xc, -y + yc); glVertex2i(y + xc, -x + yc); Giáo trình H a Máy Tính 25
16. } void MidPoint_Circle(int xc, int yc, int r); { int x, y, p; x=0 ; y=r; p=1 - r; while ( y > x) { Ve_doi_xung_8diem(xc, yc, x, y); if (p < 0) p=p + 2*x + 3 else { p = p + 2*(x - y) + 5 ; y =y - 1; } x = x + 1; } } Giáo trình H a Máy Tính 26
17. 2.3 Thu t toán MidPoint v Ellipse Xét ph ng trình elíp có tâm t i g c t a Áp d ng thu t toán MidPoint v ng tròn v elíp. Tính i x ng c a elíp là khi bi t t a mt im có th d dàng suy ra t a ba im i x ng v i nó qua các tr c Ox, Oy và góc t a . Vì elíp ch có tính ch t i x ng b n im nên ta ph i v m t ph n t c a elíp, sau ó m i l y i x ng v các ph n còn l i c a elíp. u tiên ta tìm ranh gi i hai mi n trong góc ph n t th nh t c a elíp Hình 2.7: Phân chia hai mi n ca elíp • V trí: im P là ti p im c a ti p tuy n có h s góc –1 • Xác nh: Véc t vuông góc v i ti p tuy n t i ti p im, giá tr gradient: • Ti P các thành ph n i và j c a véc t gradient có cùng l n. Ý t ng ca thu t toán là ánh giá hàm t i trung im hai t a pixel ch n v trí ti p theo v . D u c a nó cho bi t trung im nm trong hay ngoài elíp. Hình 2.8: Phân tích v hai mi n c a ellipse Giáo trình H a Máy Tính 27
18. Xét mi n 1 • Tính bi n quy t nh ti trung im u tiên n u im ang xét là xp, y p: d = F(x, y) = F(x p + 1, y p - ) • Nu d < 0: ch n E, x tng 1, y không thay i. • Nu d 0: ch n SE , x tng 1, y gi m 1: Xét mi n 2: • T ng t , tính bi n quy t nh d = F(x, y ) = F(xp + , yp - 1) o Nu d < 0: ch n SE , x tng 1, y gi m 1. o Nu d 0: ch n S, x không t ng, y gi m 1. • Tìm s gia nh mi n 1, ta c: 2 o S = a (-2yp + 3) 2 2 o SE = b (2 xp + 2) + a (-2y + 3) Tìm giá tr kh i u c a s gia d: • Mi n 1: o Gi s a, b nguyên, im b t u v là (0, b) o Trung im th nh t: (1, b - 1/2) Giáo trình H a Máy Tính 28
19. • Mi n 2: Ph thu c vào trung im ( xp + 1, y p - ) c a im ti p theo im cu i cùng c a mi n 1. Cài t minh h a thu t toán MidPoint v Elíp void Ve_doi_xung_4diem(int xc, int yc, int x, int y) { glVertex2i(x + xc, y + yc); glVertex2i(-x + xc, y + yc); glVertex2i(-x + xc, -y + yc); glVertex2i(-y + xc, x + yc); } void ellipse(int xc, int yc, int a, int b) { int x, y; float d1, d2; x=0; //{Kh i ng} y=b; d1=b 2-a2b+a 2/4; Ve_doixung_4diem(x, y); while (a 2(y-1/2)>b 2(x+1)) {Vùng 1} { Giáo trình H a Máy Tính 29
20. If (d1 0) // {Vùng 2} { if (d2<0) //{ Chon SE } { d2=d2+b 2(2*x+2)+a 2(-2*y+3); x=x+1; y=y-1 } else { d2=d2+a 2(-2*y+3); y=y-1 } Ve_doixung_4diem(x, y); } } Giáo trình H a Máy Tính 30
21. 2.4. ng cong tham s 2.4.1. ng cong Bezier 2.4.1.1. Thu t toán de Casteljau Thu t toán de Casteljau da trên dãy các im iu khi n xây d ng v i giá tr t trong on [0, 1] t ng ng v i m t im P(t). Do ó, thu t toán sinh ra m t dãy các im t các im iu khi n cho tr c. Khi các im iu khi n thay i, ng cong s thay i theo. Cách xây d ng ng cong da trên phép n i suy tuy n tính và do ó r t d dàng giao ti p. Ngoài ra, ph ng pháp này cng a ra nhi u tính ch t quan tr ng ca ng cong. Parabol d a trên ba im 2 Trong m t ph ng R xét ba im P0, P 1, P 2. t 1 1 Trong ó, t ∈ [0, 1]. Nói cách khác, vi m i t ∈ [0, 1], các im P0 t)( , P1 t)( nm trên các on th ng P0P1 và P1P2 t ng ng. Hình 2.9: ư ng cong Bezier xác nh b i ba im iu khi n Giáo trình H a Máy Tính 31
22. 1 1 Lp l i phép n i suy tuy n tính trên các im m i P0 t)( và P1 t)( ta c: 2 Qu tích c a P t :)( = P0 t)( khi t thay i trong on [0, 1] s cho ta ng cong nh trên hình (b). D dàng suy ra Suy ra P(t) là ng cong parabol theo bi n t. Ví d : Ph ng trình ng cong Bezier P(t) t ng ng ba im iu khi n P0(1, 0), P1(2, 2), P2(6, 0) là: Tng quát cho tr ng h p s im iu khi n 3 ta có: Thu t toán de Casteljau cho L + 1 im iu khi n 2 Trong m t ph ng R xét L+1 im P 0, P 1, , P L. Vi m i giá tr t cho tr c, ta xây L dng theo quy n p ng cong P0 t)( nh sau: r B c 1: [Kh i t o] t r = 0 và Pi t :)( =Pi vi m i i=0, 1, , L-r. B c 2: [Kt thúc?] Nu r = L dng ng c l i t B c 3: Thay r bi r+1 và chuy n sang b c 2. Cài t minh h a thu t toán Casteljau Point Casteljau(float t) Giáo trình H a Máy Tính 32
23. { Point Q[Max]; int i, r; for (i = 0; i <= L; i++) { Q[i].x = P[i].x; Q[i].y = P[i].y; } for (r = 1 ; r <= L; r++) { for (i = 0; i <= L - r; i++) { Q[i].x = (1 - t)*Q[i].x + t*Q[i + 1].x; Q[i].y = (1 - t)*Q[i].y + t*Q[i + 1].y; } } return(Q[0]); } v ng cong Bezier ta ch c n áp d ng g i hàm Casteljau trong th t c DrawCurve sau: void DrawCurve(float a, float b, int NumPoints) { float Delta = (b – a)/(float)NumPoints; float t = a; int i; moveto(Casteljau(t).x, Casteljau(t).y) ; for (i = 1; i <= NumPoints; i++) { t += Delta ; lineto(Casteljau(t).x, Casteljau(t).y) ; } } Giáo trình H a Máy Tính 33
24. 2.4.1.2. Thu t toán Horner a th c Bernstein và ng cong Bezier Cách ti p c n trong ph n tr c cho ta thu t toán hình h c v ng cong Bezier. Ph n này trình bày cách bi u di n gi i tích c a ng cong Bezier. Th t v y, d dàng ch ng minh r ng ng cong Bezier P(t) t ng ng các im iu khi n P 0, P 1, , P L, xác d nh b i: trong ó L   là a th c Bernstein, và   là t h p ch p k ca L ph n t . k  Ví d , t nh ngh a trên, ta có các a th c Bernstein b c ba: th minh h a c a b n a th c này khi t ∈ [0, 1]: Giáo trình H a Máy Tính 34
25. Hình 2.10 . Các a th c Bernstein b c ba Ví d , ph ng trình tham s c a ng cong Bezier t ng ng b n im iu khi n P0(1, 0) , P1(2, 3) , P2(6, 0) , P3 (9, 2) có d ng: V ng cong Bezier qua a th c Bernstein Da vào l c Horner tính giá tr a th c Bernstein, ta xây d ng th t c xác nh ng cong Bezier hi u qu h n Casteljau. Mt ví d nhân lòng nhau c a l c Horner trong tr ng h p a th c b c ba: T ng t v i ng cong Bezier b c ba: Giáo trình H a Máy Tính 35
26. trong ó, s = 1 – t. Nh n xét r ng: Do ó, ta có ch ng trình tính giá tr hàm Bezier P(t) trong tr ng h p t ng quát, vi NumVertices chính là s im iu khi n L+ 1. Cài t minh h a thu t toán Horner Point Horner_Bezier(float t) { int i, L_choose_i; float Fact, s; Point Q; s = 1.0 - t; Fact = 1.0; L_choose_i = 1; Q.x = P[0].x*s; Q.y = P[0].y*s; for(i = 1; i < L; i++) { Fact *= t; L_choose_i *= (L - i + 1)/i; Q.x = (Q.x + Fact*L_choose_i*P[i].x)*s; Q.y = (Q.y + Fact*L_choose_i*P[i].y)*s; } Q.x += Fact*t*P[L].x; Q.y += Fact*t*P[L].y; return(Q); } Giáo trình H a Máy Tính 36
27. 2.4.2. ng cong B-Spline ng cong Bezier c iu khi n m t cách “toàn c c”, có ngh a là khi m t im iu khi n thay i thì toàn b ng cong c ng thay i theo. Trong th c t , ta mong mu n thay i m t on trên ng cong nh hình 2.11, tc là iu khi n m t cách a ph ng. iu này ng cong Bezier không th c hi n c. Do ó, ta c n tìm các a th c tr n l i (hàm tr n) mà v n gi tính ch t t t c a a th c Bernstein và các a th c này có giá tr ch a trong on [0, 1] ng i thi t k iu khi n ng cong theo mong mu n m t cách a ph ng. có th iu khi n hình d ng các hàm tr n, ta c n xây d ng các hàm liên t c Rk(t) là nh ng a th c t ng khúc. Do ó, Rk(t) trên m i kho ng (t i, t i+1 ] là mt a th c. Suy ra, ng cong P(t) là t ng các a th c t ng khúc v i tr ng l ng là các im iu khi n. Ch ng h n, trong kho ng nào ó thì ng cong có d ng: Hình 2.11: Thay i ư ng cong mong mu n Trong kho ng k ti p, ng cong c cho b i m t các a th c khác, và tt c các on cong này t o thành m t ng cong liên t c. ng cong này c g i là Giáo trình H a Máy Tính 37
28. ng cong Spline . Trên m t h các hàm tr n, ta ch n xây d ng các hàm tr n có giá tr nh nh t và do ó iu khi n a ph ng t t nh t. Khi ó, ta g i ng cong này là B-Spline . Mi hàm B-Spline ph c thu c vào m và có b c m-1, chúng ta ký hi u Nk,m thay cho Rk(t). Do ó, ph ng trình ng cong B-Spline có d ng: Nh v y, xác nh ng cong B-Spline , ta c n: • Vector knot T = ( t0, t1, , ). • L +1 im iu khi n P0, P 1, , P L. • Bc m ca các hàm B-spline. Công th c xác nh hàm quy B-spline Nk,m vi k = 0, 1, , L, và Ví d , xét vector Knot T= (t0 = 0 , t1 = 1, t2 = 2, ) có kho ng cách gi a các Knot là 1. Khi ó: th c a hàm N0,2 (t) trên on [0, 2] là các a th c b c 1 và là mt tam giác vi các nh (0, 0), (1, 1) và (2, 0) . Giáo trình H a Máy Tính 38