Giáo trình Cơ sở kỹ thuật

Nội dung text: Giáo trình Cơ sở kỹ thuật

1. Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - fi(xi) = yi , i = 1, . . . n ; fi + 1(xi) = yi , i = 0,1, . . . n - 1 (ii) Đạo hàm bậc 1 phải liên tục tại các điểm bên trong, dẫn đến được (n – 1) phương trình: ’ f i(xi) = f’i + 1(xi), i = 1, 2,. . . ,n - 1 (iii) Đạo hàm bậc 2 cũng phải liên tục tại các điểm bên trong, thêm được (n – 1) phương trình nữa: ” f”i(xi) = f i + 1(xi), i = 1,2, . . ., n-1 (iv) Hai điều kiện cuối cùng dựa vào 2 điểm cuối của đường Spline, ở đây thường đặt f”1(x0) = 0 và f”n(xn) = 0. Sắp xếp lại hàm fi(x), ta chỉ cần (n-1) phương trình cần thiết để giải, có dạng: y = fi(x) = f "(x )(x x)3 f "(x )(x x )3 y f "(x ) x y f "(x ) x i 1 i i i 1 i 1 i 1 i i i i xi x x xi 1 6 xi 6 xi xi 6 xi 6 Với xi = xi - xi – 1, với i = 1,2, .,n (dạng sai phân lùi). Đạo hàm phương trình này và áp dụng điều kiện liên tục về đạo hàm bậc nhất ta được: y y x f”(x ) + 2( x + x ).f”(x ) + x . f”(x ) = 6 i i 1 i i - 1 i i + 1 i i + 1 i + 1 x i x i 1 Với yi = yi – yi-1, với i = 1,2, . . . .n - 1 Điều này tương đương với hệ phương trình tuyến tính có ẩn là đạo hàm bậc 2 tại các điểm bên trong của đường cong nội suy: " 2( x 1 x 2 ) x 2 0 0  f (x 1 )  " x 2 2( x 2 x 3 ) x 3 0 f (x ) . 2  0 x 3 2( x 3 x 4 ) 0  0 0  2( x x ) " n 1 n  f (x n 1 ) y y  1 2 x x 1 2 y 2 y3 6. x 2 x 3   y n 1 y n x n 1 x n  Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 20
2. Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Giải hệ đại tuyến nầy ta tìm được f”(xi), với i = 1,2, . . . , n-1 cộng với hai điều kiện biên 2 đầu: f”(x0) = f”(xn) = 0, đường cong nội suy sẽ hoàn toàn xác định. Ví dụ: x 1 2 2,2 3 4 y 5 7 ? 10 12 Tìm y=f(x) theo phương pháp nội suy spline bậc 3 và tính y (x = 2,2) = ? Giải: Ta có x1 x 2 x 3 1 y1 2; y 2 3; y 3 2 2 3  '' 2(1 1)1 f() x1  1 1 .  6.  1 2(1 1) f'' () x 3 2 2  1 1  "" " 4f ( x1 ) f ( x 2 ) 6 f( x1 ) 2 "" " f( x1 ) 4 f ( x 2 ) 6 f( x2 ) 2 y = f(x) = y = fi(x) = f "(x )(x x)3 f"(x )(x x )3 y f"(x ) x y f"(x ) x 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 x2 x x x1 6 x2 6 x2 x2 6 x2 6 2(3 x)3 ( 2)(x 2)3 7 2.1 10 ( 2).1 3 x x 2 6.1 6.1 1 6 1 6 (3 x)3 (x 2)3 20 3 x 31 x 2 3 3 3 3 Thay vào ta được, tại x=2,2 y = 7,568 2.4 Phương pháp bình phương cực tiểu (Least squares method) Giả sử có hai đại lượng x và y có liên hệ phụ thuộc nhau, theo một dạng đã biết: y = a+b.x, hay y = a+b.x+c.x2, hay y = a.ebx, Nhưng chưa biết giá trị các tham số a, b, c. Muốn xác định chúng, người ta tìm cách có được bằng thí nghiệm, đo đạc, một số cặp (xi, yi) rồi áp dụng phương pháp bình phương cực tiểu. Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 21
3. Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Trường hợp y = a + bx + cx2 2 Ta có: yi- a- bxi –cxi =  i , với i =1,2, ,n ở đây  i sai số tại xi. 2 2 Do đó S = (yi a bxi cxi ) là tổng các bình phương của các sai số. S phụ thuộc a và b, còn xi, yi ta đã biết rồi. Mục đích của phương pháp bình phương cực tiểu là xác định a, b và c sao cho sai số nhỏ nhất: S Smin. S S S Như vậy: 0, 0 và 0 a b c Ta có được hệ phương trình: na b  x c  x 2  y i i i 2 3 a  xi b  xi c  xi  xi yi 3 4 a  x 2 b  x c  x  x 2 y i i i i i i Giải hệ này tìm được a, b, c. Ví dụ: x 0,7 1,5 2,3 3,1 3,8 y 2,5 1,2 1,7 2,4 4,3 Lập công thức nghiệm y dạng y = a + bx + cx2. Giải : Lập bảng o 1 2 3 4 i x y x x x x x Tk 0 0.7 2.5 1 0.7 0.49 0.34 0.24 11.60 1 1.5 1.2 1 1.5 2.25 3.38 5.06 30.09 2 2.3 1.2 1 2.3 5.29 12.17 27.98 95.43 3 3.1 2.4 1 3.1 9.61 29.79 92.35 4 3.8 4.3 1 3.8 14.44 54.87 208.51 S 5.00 11.40 32.08 100.55 334.15 5a 11,4b 32.08c 11.6 a 4,7 11.4a 32.08b 100.55c 30.4  b 3,8 32.08a 100 .55b 334.15c 95.43 c 0,98 Ta được y = 0,98x2 – 3,8x + 4,7. Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 22
4. Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Câu hỏi: 1. Ưu nhược điểm của các phương pháp nội suy Lagrange, Newton, Spline ? 2. Hãy chỉ ra những trường hợp cụ thể và cách chọn phương pháp nội suy nào thích hợp nhất ? 3. Phương pháp bình phương cực tiểu thường được áp dụng khi nào ? Tại sao người ta nói phương pháp nầy mang tính chủ quan của người sử dụng tính toán? Một cách chính xác có gọi phương pháp nầy là nội suy được không ? Bài tập: Nội suy Lagrange 1) Xây dựng đa thức nội suy Lagrange của hàm số y=f(x) cho dưới dang bảng sau x 0 2 3 5 y 1 3 2 5 2) Cho bảng giá trị của hàm số y=f(x) x 321,0 322,8 324,2 325,0 y 2,50651 2,50893 2,51081 2,51188 Tính gần đúng f(323,5) bằng đa thức nội suy Lagrange. 3) Thành lập đa thức nội suy Lagrange từ bảng số sau: x 2 4 6 8 10 y 0 3 5 4 1 4) Hãy đánh giá sai số nhận được khi xấp xỉ hàm số y=sinx bằng đa thức nội suy Lagrange bậc 5: L5(x), biết rằng đa thức này trùng với hàm số đã cho tại các giá trị x bằng: 00, 50, 100, 150, 200, 250. Xác định giá trị của sai số khi x=12030’. 5) Tìm đa thức nội suy bậc 2 của hàm y=3x trên đoạn  1,1, từ đó suy ra gia trị gần đúng của 3 Đáp số: 62 3 13 1) 1+ x + x 3 - x 2 15 10 6 2) 2,50987 Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 23
5. Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 1 3) f(x)= (x 4 26x 3 220x 2 664x 640) 32 1 5 4) sin( x) L (x) x(x )(x )(x )(x )(x ) , khi x=12030’ 5 6! 36 18 12 9 36 0 0 9 thì sin(12 30' L5 (12 30') 2,2.10 x 5) Để được đa thức nội suy bậc 2 thì cần 3 mốc: Ở đây ta chọn x0=-1;0;1 thì y=3 1 (4x 2 8x 6) trên đoạn  1,1, và 3 1,8 6 Nội suy Newton: 1) Cho bảng giá trị của hàm số y=f(x) x -1 0 3 6 7 y 3 -6 39 822 1611 a) Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x0 = -1 của hàm số y=f(x) b) Dùng đa thức nội suy nhận được, tính gần đúng f(-0,25). 2) Cho bảng giá trị của hàm số y = sinx x 0,1 0,2 0,3 0,4 y 0,09983 0,19867 0,29552 0,38942 a) Dùng đa thức nội suy tiến xuất phát từ nút x0 = 0,1 tính gần đúng sin(0,14) b) Dùng đa thức nội suy lùi xuất phát từ nút x0 = 0,4 tính gần đúng sin(0,46) 3) Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ bảng số (x0=0). x 0 2,5069 5,0154 7,5270 y 0,3989423 0,3988169 0,3984408 0,39781138 3x x3 x 2 4) Cho giá trị của hàm số y = arctg - 3arctgx + (2ln x 3) theo bảng số sau: 1 3x 2 4 x 58 58,17 58,34 58,68 59,02 59,36 59,7 y 4303,52 ? 4364,11 4425,17 4486,69 4548,69 4611,16 Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến và tính gần đúng giá trị của y tại x =58,17. Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 24
6. Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Đáp số: 1) a) x4-3x3+5x2-6 b) -5,6367188 2) a) sin(0,14) 0,1395434 b) sin(0,46) 0,4439446 3) f(x) 0,3989423-0,0000500x-0,0000199x(x-2,5069) 0,47 t(t 1)(t 2) t(t 1)(t 2)(t 3) 4) y=4303,52+60,59t+ t(t-1)-0,01 +0,03 - 2! 3! 4! t(t 1)(t 2)(t 3)(t 4) 0,06 5! x 58 Trong đó: t= ; y(x=58,17)=4333,75779688 0,34 Nội suy spline và phương pháp bình phương cực tiểu: 1) Dựng hàm spline bậc 3, xấp xỉ hàm y = 3x trên đoạn  1;1, lấy với h=1, từ đó suy ra 3 3 . 2) Cho hàm số y = sinx trên đoạn 0; . Hãy lập hàm spline bậc 3 để xấp xỉ hàm sinx trên đoạn đã cho, với các mốc nội suy x0 =0; ; . 2 3) Cho bảng các giá trị: x 2 4 6 8 10 12 y 7,32 8,24 9,20 10,19 11,01 12,05 Hãy tìm công thức thực nghiệm có dạng y=a+bx. 4) Cho bảng giá trị: x 0,78 1,56 2,34 3,12 3,81 y 2,50 1,20 1,12 2,25 4,28 Hãy tìm công thức thực nghiệm có dạng y=a+bx+cx2 Đáp số: 3) y=6,3733333+0,4707143x 4) y= 0,992-0,909 Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 25
7. Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, NXB ĐHQG, Hà Nội 1996 2. Phan Văn Hạp, Các phương pháp giải gần đúng, NXB ĐH-THCN, Hà Nội 1981. 3. Nguyễn Thế Hùng, Giáo trình Phương pháp số, Đại học Đà Nẵng 1996. 4. Đinh Văn Phong, Phương pháp số trong cơ học, NXB KHKT, Hà Nội 1999. 5. Lê Đình Thịnh, Phương pháp tính, NXB KHKT, Hà Nội 1995. 6. Lê Trọng Vinh, Giải tích số, NXB KHKT, Hà Nội 2000. 7. BURDEN, RL, & FAIRES, JD, Numerical Analysis, 5th ed., PWS Publishing, Boston 1993. 8. CHAPRA S.C, Numerical Methods for Engineers, McGraw Hill, 1998. 9. GURMUND & all, Numerical Methods, Dover Publications, 2003. 10. HOFFMAN, J., Numerical Methods for Engineers scientists, McGrawHill, Newyork 1992. 11. JAAN KIUSAALAS, Numerical Methods in Engineering with Matlab, Cambridge University Press, 2005. 12. OWEN T. et al., Computational methods in chemical engineering, Prentice Hall, 1995. 13. STEVEN T. KARRIS, Numerical Analysis, Using Matlab and Excel, Orchard Publications, 2007. Website tham khảo: The end Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 26
8. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Chương 3 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN NUMERICAL DIFFERENTIATION AND INTEGRATION 3.1 Tính gần đúng đạo hàm + Ta biểu diễn hàm f(x) bằng đa thức nội suy: f(x) = P(x), với P(x) là đa thức nội suy (đa thức nội suy tiện lợi là spline bậc 3); Tiếp theo ta tính gần đúng đạo hàm f ’(x) ở đa thức này: f’(x) = P’(x) + Ta cũng có thể áp dụng khai triển Taylor: h 2 f(x + h) = f(x) + h f’(x) + f”(c), với c = x + h, 0 <  < 1. 2! f (x h) f (x) Từ đó ta tính được: f’(x) h 3.2 Tính gần đúng tích phân xác định 3.2.1 Công thức hình thang: Trong từng khoảng chia (i,i+1), đường cong Mi, Mi+1 được xấp xỉ thành đường thẳng. Đối với tích phân thứ (i + 1), ta có: y xi 1 yi yi 1 f (x)dx h y1 B 2 x i y0 b a A Với x = a + ih, h = , i n i = 1, 2, . . . . . , n; a = x0 , b = xn x0 x1 x b x1 x 2 x n I= f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx (3.1) a x0 x1 x n 1 Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 27
9. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật h I   y y (y y ) (y y ) T 2 0 1 1 2 n 1 n (3.2) y0 yn I T  h y1 y2 yn 1 2 M 2 Sai số: I - I  h (b a) , với M = max f”(x), a x b T 12 Ví dụ: Dùng công thức hình thang tổng quát với n=10 để tính gần đúng: 1 dx I = 0 1 x Đánh giá những sai số của những giá trị gần đúng nhận được. Giải: 1 0 Ta có: h= =0,1 10 Kết quả tính toán trong bảng sau: i xi yi 0 0 1,00000 1 0,1 0,90909 2 0,2 0,83333 3 0,3 0,76923 4 0,4 0,71429 5 0,5 0,66667 6 0,6 0,62500 7 0,7 0,58824 8 0,8 0,55556 9 0,9 0,52632 10 1,0 0,50000  6,18773 Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 28
10. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Theo công thức hình thang tổng quát ta có: 1,0000 0,50000 I 0,1( +0,90909+0,83333+0,76923+0,71429+0,66667+ 2 0,62500+0,58824+0,55556+0,52632) =0,69377. Sai số R được xác định như sau: M II = h2 () b a (3.3) T 12 '' Với M = max fx 0<x<1 1 f(x) = =(1+x)-1 1 x f' () x = -(1+x)-2 2 f'' () x = (-1)(-2)(1+x)-3= Trong (0,1) M = max f '' =2 (1 x )3 x 2.(0,1)2 R (1 0) 0,00167 (3.4) 12 3.2.2 Công thức Simpson Bây giờ cứ mỗi đoạn cong Mi, Mi+1 được xấp xỉ bằng đường cong bậc hai, đi qua ba giá trị yi, yi+1 và giá trị y tại x = (xi + xi+1)/2, có nghĩa chia [a,b] thành 2n đoạn bằng nhau, bởi các điểm chia xi: a = x0 < x1 < x2 < < x2n =b, nghĩa là: xi = a +ih Với h = (b – a)/2n, với: i = 0, 1,2, .,2n Dùng đa thức nội suy bậc 2 xấp xỉ theo Newton, ta có công thức tính gần đúng tích phân theo Simpson: x x 2 2 2 t (t 1) f ( x ) dx p ( x ) dx h ( y t y 2 y ) dt 2 0 0 2 0 (3.5) x 0 x 0 0 x2 h f (x)dx  (y 4y y ) (3.6) 3 0 1 2 x0 Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 29
11. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Tổng quát : x 2 i 2 h f ( x ) dx  ( y 4 y y ) (3.7) 3 2 i 2 i 1 2 i 2 x 2 i Vậy: b h f ( x)dx  [( y 4 y y ) ( y 4 y y ) ( y 4 y y )] 3 0 1 2 2 3 4 2 n 2 2 n 1 2 n a (3.8) h I  [( y y ) 4( y y y ) 2( y y y )] 3 0 2 n 1 3 2 n 1 2 4 2 n 2 Sai số: h 4 I I M ( b a ) S 180 (3.9) Với: M = max  fiv(x) , a x b. Ví dụ: Dùng công thức Simpson tổng quát với n=10 để tính gần đúng: 1 dx I = 0 1 x Đánh giá những sai số của những giá trị gần đúng nhận được. 3.2.3 Công thức của Gauss 3.2.3.1 Liên hệ giữa các hệ toạ độ tổng thể và hệ toạ độ địa phương Trong nhiều trường hợp ta cần tính tích phân số với độ chính xác rất cao, như trong phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH), miền tính toán  được chia nhỏ thành nhiều miền con, phương pháp biến phân trọng số xây dựng trên các miền con này. Do đó dẫn đến tích phân hàm dạng trên miền con. 3 x  Ni xi N1 x1 N 2 x2 N 3 x3 i 1 Nếu tích phân hàm dạng bậc cao với sử dụng hệ toạ độ tổng thể (x,y,z, global coordinate) thì thông thường sẽ xuất hiện các biểu thức đại số rất phức tạp khi phần tử là hai, ba chiều (Irons and Ahmad, 1980). Thay vào đó nếu chúng ta thực hiện chúng trong hệ toạ độ địa phương (,,, local coordinate) hay còn gọi là toạ độ chuẩn hay toạ độ tự nhiên (normal coordinate hay natural coordinate) thì sẽ đơn giản hơn rất nhiều Taig, 1961; bởi lẽ nó thuận lợi trong việc xây dựng hàm nội suy, tích phân số dùng được cách thiết lập của Gauss-Legendre (phổ biến nhất). Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 30
12. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Phần tử chiếu Phần tử thực e y   Xk 0,1 1 x i 3 2 x j e r v xi v 3 x k 1 2 Xj 0,0  1,0 x Hình 3.1: Biểu thị phần tử chiếu Vr vào phần tử thực Ve Với phần tử đẳng tham số (isoparametric), ta có thể viết công thức biến đổi toạ độ cho phần tử tứ giác tuyến tính có bốn điểm nút như sau: Với phần tử tam giác tuyến tính có ba điểm nút: 4 y  N j x j N1 x1 N 2 x2 N3 x3 N 4 x4 (3.10) j 1 3 y  N j y j N1 y1 N 2 y2 N3 y3 (3.11) j 1 Ở đây Ni, Nj là hàm dạng hay còn gọi là hàm nội suy (shape function hay interpolation function). Từ luật đạo hàm đạo hàm riêng phần, ta có:   x y        x x   J  (3.12)  x y       y y     x 1  Hay:  J  (3.13)   y    Ở đây J là ma trận Jacobian biến đổi toạ độ. Định thức của ma trận này, det J , cũng phải được ước lượng bởi lẽ nó được dùng trong các tích phân biến đổi như sau: + Cho phần tử tứ giác tuyến tính: Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 31
13. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 1 1 dxdy det J d d (3.14)  e 1 1 + Cho phần tử tam giác tuyến tính: 1 1  dxdy det J d d (3.15)  e 0 0 2 2 3 3 4 4 1 1 Hình 3.4: Phần tử tứ giác có ma trận Jacobian không xác định Trong một số trường hợp, ví dụ như ở Hình 3.4, phần tử tứ giác có 4 điểm nút, nếu dạng hình học như vậy, ma trận Jacobian trở nên không xác định; để nó có giá trị tốt, các hình dạng phần tử như cạnh và góc của nó cần phải đều đặn hơn (ví dụ tam giác đều, tứ giác đều  hình vuông, đây là các dạng phần tử lý tưởng). 3.2.3.2 Tích phân số Một số tích phân của các loại bài toán hai chiều (2D), ba chiều (3D), theo phương pháp PTHH có thể được ước lượng bằng giải tích, nhưng nó không thực dụng cho các hàm số phức tạp , đặc biệt trong trường hợp tổng quát khi , là toạ độ cong. Trong thực hành (3.14), (3.15) được ước lượng bằng số, gọi là tích phân số (numerical integration hay còn gọi là numerical quadrature). Dùng tích phân số của Gauss, với phần tử tứ giác, miền hai chiều ta có: 1 1 n n f , dd  w w f  , (3.16)  i j i j 1 1 i 1 j 1 Với phần tử tam giác: 1 1  1 n f , dd  w f  i , i (3.17)  i 0 0 2 i 1 Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 32
14. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Với phần tử tứ giác thì wi, wj là hệ số trọng số và  i , j là các vị trí toạ độ bên trong phần tử, cho ở Bảng 2 (Xem Kopal 1961); còn với phần tử tam giác, tương tự như phần tử tứ giác, nhưng các điểm tích phân là các điểm mẫu (Sampling Points), Bảng 1. Thông thường người ta muốn các tích phân số đạt độ chính xác cao, nhưng có những trường hợp đặc biệt lại không cần thiết. ở tích phân Gauss (3.16), với n = 2, sẽ chính xác khi hàm f là cubic (bậc 3 ), còn ở tích phân (3.17), n = 1, sẽ chính xác khi đa thức f bậc nhất, còn n = 3, sẽ chính xác khi đa thức f bậc hai. Bảng 3.1: Điểm tích phân cho phần tử tam giác theo công thức (3.17) i i n   wi 1 1/ 3 1/ 3 1 1/ 2 1/ 2 1/ 3 3 1/ 2 0 1/ 3 0 1/ 2 1/ 3 Bảng 3.2: Trọng số và điểm tích phân Gauss – Legendre theo công thức (3.16) Điểm tích phân  i Số điểm tích phân r Trọng số wi 0.0000000000 Một điểm 2.0000000000 0.5773502692 Hai điểm 1.0000000000 0.0000000000 Ba điểm 0.8888888889 0.7745966692 0.5555555555 0.3399810435 Bốn điểm 0.6521451548 0.8611363116 0.3478548451 0.0000000000 0.5688888889 0.5384693101 Năm điểm 0.4786286705 0.9061798459 0.2369268850 0.2386191861 0.4679139346 0.6612093865 Sáu điểm 0.3607615730 0.9324695142 0.1713244924 Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 33
15. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Ví dụ 1: Tính tích phân: 1 3 x 2x2 dx Tính tích phân Gauss với n=3 1 Giải: n = 3 tra bảng ta được: a1=0,774 W1≡ H1= 0,555 a2=-0,774 W2≡ H2=+0,555 a3=0,000 W3≡ H3=0,888 1 I= f ()d =H1f(a1)+ H2f(a2)+ H3f(a3) 1 I=0,555 3 0,774 2(0,774)2 +0,555 3 0,774 2( 0,774)2 +0,888 3 0,000 2(0,000)2 =1,113 Ví dụ 2: Sử dụng bảng tra tích phân của Gauss (n=2) để tính gần đúng tích phân. 1 1 I= (x2 2 y ) dxdy 1 1 Câu hỏi: 1. Khi nào đạo hàm được tính gần đúng được chấp nhận (sai số nằm trong phạm vi cho phép), khi nào nó không được chấp nhận. Cho vài ví dụ ? 2. Tại sao tích phân gần đúng Gauss tốt hơn tích phân gần đúng Simpson và Tp gần đúng Simpson tốt hơn Tp gần đúng hình thang ? 3. Tại sao tích phân số (gần đúng) của Gauss càng chính xác khi điểm tích phân càng nhiều ? Bài tập: 1) Tính gần đúng y’(55), y’(60) của hàm y=lgx dựa vào bảng giá trị đã cho sau: x 50 55 60 y 1,6990 1,7404 1,7782 Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 34
16. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật So sánh với kết quả đúng tính đạo hàm của hàm số y =lgx. 2) Tính gần đúng y’(1) của hàm y=f(x) từ bảng số đã cho: x 0,98 1,00 1,02 y 0,7739332 0,7651977 0,7563321 2 3) Tính gần đúng tích phân I= xdx bằng công thức hình thang tổng quát, lấy n=10. 1 Đánh giá sai số. 1 2 4)Tính gần đúng I= e x dx bằng công thức hình thang và Ximxơn bằng cách chia đoạn 0 0;1 thành 10 đoạn bằng nhau. 1 dx 5) Tính gần đúng I= 0,78539816bằng công thức hình thang và Simpson mở 2 0 1 x 4 rộng. Với đoạn 0;1 chia thành 10 đoạn bằng nhau. 1 6)Tính gần đúng tích phân I= 1 x 2 dx bằng công thức Simpson tổng quát sao cho đạt 0 sai số 0,001. Đáp số: 1) y’(55) 0,00792; y’(60) 0,0072 Giá trị đúng y’(55) = 0,0079862; y’(60) = 0,0072382 2) y’(1) -0,4400275. 3) I I * =1,218; I I * 0,02 . 4) Công thức hình thang: I I * =1,4672; I I * 0,0136. Công thức Simpson: I I * =1,4627; I I * 0,000115. 5) Công thức hình thang: I I * =0,78498149 Công thức Simpson: I I * =0,78539815. Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang: 35