Giáo trình Cơ học lý thuyết

Nội dung text: Giáo trình Cơ học lý thuyết

1. -9- Tỡm kiếm & download ebook: bookilook.com r - Độ lớn bằng tích số: F.d, với F là độ lớn lực Fvà d là khoảng cách từ r tâm O tới đ−ờng tác dụng của F gọi là cánh tay đòn. - Ph−ơng vuông góc với mặt phẳng chứa tâm O và lực F (mặt phẳng tác dụng). r r - Chiều h−ớng về phía sao cho khi nhìn từ đỉnh của véc tơ mo (F) xuống r mặt phẳng tác dụng sẽ thấy véc tơ lực F chuyển động theo chiều mũi tên vòng quanh O theo ng−ợc chiều kim đồng hồ (hình 1.12). r r D−ạ vào hình vẽ dễ dàng thấy rằng độ lớn của véc tơ mo (F) bằng hai lần r diện tích tam giác OAB ( tam giác có đỉnh O và đáy bằng lực F). r Với định nghĩa trên có thể biểu diễn véc tơ mô men lực F đối với tâm O bằng biểu thức sau: r r r r r mo (F) = OA x F= r x F. r Trong đó r là véc tơ định vị của điểm đặt của lực F so với tâm O. Trong tr−ờng hợp mặt phẳng tác dụng của mô men lực đã xác định, để đơn r giản ta đ−a ra khái niệm mô men đại số của lực F đối với tâm O nh− sau: r Mô men đại số của lực F đối với tâm O là đại l−ợng đại số ký hiệu: mo = ± F.d r Lấy dấu d−ơng (+) khi nhìn vào mặt phẳng tác dụng thấy lực F quay theo chiều mũi tên vòng quanh O theo chiều ng−ợc kim đồng hồ (hình 1.13), lấy dấu trừ (-) trong tr−ờng hợp quay ng−ợc lại (hình 1.14). Mô men đại số th−ờng đ−ợc biểu diễn bởi mũi tên vòng quanh tâm O theo chiều của mô men. Bỏch Khoa Online: hutonline.net
2. -10- z Tỡm kiếm & download ebook: bookilook.com r B F r B F A A(x,y,z) d 900 A r r O m ( F) r 0 o 90 r d F O y O m (F)=F.d mo(F)= - F.d B o x Hình 1.12 Hình 1.13 Hình 1.14 1.3.1.2. Mô men của lực đối với một trục r r Mô men của lực F đối với trục OZ là đại l−ợng đại số ký hiệu mZ( F) tính r r theo công thức: mZ( F ) = ± F'.d' . Trong đó F' là hình chiếu của lực F trên mặt phẳng π vuông góc với trục Z. d' là khoảng cách tính từ giao điểm O của trục Z r với mặt phẳng π đến đ−ờng tác dụng của F' (hình 1.15). Lấy với dấu (+) khi nhìn từ h−ớng r B F'' d−ơng của trục OZ sẽ thấy hình chiếu F' Z quay quanh trục OZ ng−ợc chiều kim r B1 d r F Z đồng hồ. F' Lấy dấu (-) trong tr−ờng hợp (π) O A ng−ợc lại. Hình 1.15 Từ hình vẽ ta rút ra trị số mô men r của lực F đối với trục OZ bằng hai lần diện tích tam giác OAB1. r 1.3.1.3. Quan hệ giữa mô men lực F đối với tâm O và với trục đi qua O Trên hình 1.16 ta thấy: r mo( F ) = 2.diện tích (∆OAB). r mZ( F) = 2 diện tích (∆oa1b1) Bỏch Khoa Online: hutonline.net
3. -11- Tỡm kiếm & download ebook: bookilook.com Vì oa1b1 là hình chiếu của tam giác OAB trên mặt phẳng vuông góc với trục Z tại O. Nếu gọi α là góc hợp bởi giữa hai mặt phẳng OAB và mặt phẳng r r oa1b1 thì góc này cũng chính là góc hợp giữa véc tơ mô men mo (F) với trục OZ, ta có: Diện tích ∆oa b = diện tích r A z 1 1 F r B m z(F) ∆OAB. cosα. d mr (F) r r r o hay mZ( F) = mo (F) .cosα. α r a F Kết quả cho thấy mô men của lực r b F đối với trục OZ là hình chiếu véc tơ d' r mô men lực F lấy với điểm O nào đó trên trục OZ chiếu trên trục OZ đó. Hình 1.16 1.3.2. Lý thuyết về ngẫu lực 1.3.2.1 Định nghĩa và các yếu tố đặc tr−ng của ngẫu lực Định nghĩa: Ngẫu lực là hệ hai lực song song ng−ợc chiều cùng c−ờng độ. r r Hình 1.17 biểu diễn ngẫu lực ( F1 , F2 ) Mặt phẳng chứa hai lực gọi là mặt phẳng tác dụng. Khoảng cách d giữa đ−ờng tác dụng của hai lực gọi là cánh tay đòn. Chiều quay vòng của các lực theo đ−ờng khép kín trong mặt phẳng tác dụng gọi là chiều quay của ngẫu lực. Tích số m = d.F gọi là mô men mr của ngẫu lực. Tác dụng của ngẫu lực đ−ợc A d A2 d 2 A đặc tr−ng bởi ba yếu tố: A1 1 - Độ lớn mô men m - Ph−ơng mặt phẳng tác mr dụng Hình 1.17 Bỏch Khoa Online: hutonline.net
4. -12- Tỡm kiếm & download ebook: bookilook.com - Chiều quay của ngẫu. Thiếu một trong ba yếu tố trên tác dụng của ngẫu lực ch−a đ−ợc xác định. Để biểu diễn đầy đủ ba yếu tố trên của ngẫu lực ta đ−a ra khái niệm về véc tơ mô men ngẫu lực mr . Véc tơ mô men mr có trị số bằng tích số d.F có ph−ơng vuông góc với mặt phẳng tác dụng, có chiều sao cho nhìn từ mút của nó xuống mặt phẳng tác dụng thấy chiều quay của ngẫu lực theo chiều ng−ợc kim đồng hồ. Với định nghĩa trên ta thấy véc tơ mô men mr của ngẫu lực chính là véc tơ mô men của một trong hai lực thành phần lấy đối với điểm đặt của lực kia. Theo hình 1.17 có thể viết: r r r r r r r m = m A1( F2 ) = m A2 ( F1 )= A1A2 x F2 = A2A1 x F2 1.3.2.2. Định lý về mô men của ngẫu lực Trong một ngẫu lực, tổng mô men của hai lực thành phần đối với một điểm bất kỳ là một đại l−ợng không đổi và bằng véc tơ mô men ngẫu lực. r r Chứng minh: Xét ngẫu lực ( F1 , F2 ) biểu diễn trên hình 1.18. Chọn một r r điểm O bất kỳ trong không gian, tổng mô men của hai lực F1 , F2 lấy với O có thể r r r r viết: mo (F1) + mo (F2 ) = A1 r r r = OA x F + OA x F ; F 1 1 1 2 2 r F 2 r r = OA x F - OA x F ; A2 1 1 2 2 o r = (OA1 - OA2) x F1 ; Hình 1.18 r r = A2A1 x F1 = m . Trong định lý trên vì điểm O là bất kỳ do đó có thể kết luận rằng tác dụng của ngẫu lực sẽ không thay đổi khi ta rời chỗ trong không gian nh−ng vẫn giữ nguyên độ lớn, ph−ơng chiều của véc tơ mô men mr . Cũng từ định lý trên rút ra hệ quả về các ngẫu lực t−ơng đ−ơng sau đây. Bỏch Khoa Online: hutonline.net
5. -13- Tỡm kiếm & download ebook: bookilook.com Hệ quả 1: Hai ngẫu lực cùng nằm trong một mặt phẳng có cùng trị số mô men m cùng chiều quay sẽ t−ơng đ−ơng. Hệ quả 2: Hai ngẫu lực nằm trong hai mặt phẳng song song cùng trị số mô men, cùng chiều quay sẽ t−ơng đ−ơng với nhau. Thật vậy trong hai tr−ờng hợp này các ngẫu lực đều đảm bảo có véc tơ mô men mr nh− nhau. 1.3.2.3. Hợp hai ngẫu lực r r Định lý: hợp hai ngẫu lực có mô men m 1 và m 2 cho ta một ngẫu lực có mô men M bằng tổng hình học các véc tơ mô men của hai ngẫu lực đã cho. Ta r r có M = m 1 + m 2 r r Chứng minh: Xét hai ngẫu lực có mô men m 1 và m 2 nằm trong hai mặt phẳng π1 và π1. Trên giao tuyến của hai mặt phẳng π1 và π2 lấy một đoạn thẳng r r r A1A2 ngẫu lực có mô men m thay bằng ngẫu lực ( F1 F2 ) nằm trong mặt phẳng π1 r r r và đặt vào A1A2. Ngẫu lực có mô men m 2 thay bằng ngẫu lực ( p 1 p 2) nằm trong mặt phẳng π2 và cùng đặt vào A1A2 (hình 1.19). mr r m 1 π mr 2 2 r r P r F 2 R 2 1 π1 r r F r P 1 2 R 1 Hình 1.19 r r r Tại A1 hợp hai lực F1 , P1 đ−ợc lực R 1 r r r Tại A2 hợp hai lực F2 P2 đ−ợc lực R 2 r r Do tính chất đối xứng dễ dàng nhận thấy hai véc tơ R 1 và R 2 song song Bỏch Khoa Online: hutonline.net
6. -14- Tỡm kiếm & download ebook: bookilook.com r r ng−ợc chiều và có cùng c−ờng độ. Nói khác đi hai lực R 1 R 2 tạo thành một ngẫu lực. Đó chính là ngẫu lực tổng hợp của hai ngẫu lực đã cho. r r r Gọi M là mô men của ngẫu lực ( R 1 R 2) ta có: r r r M = A1A2 x R 2 = A1A2 x R 1 r r r r r r Thay R 1 = F1 + P1 và R 2 = F2 + P2 , suy ra: r r r r r M = A1A2 x ( F2 + P2 ) = A1A2 x F2 + A1A2 x P2 , r r r r r r r M = m A1 ( F2 ) + m A1( P2 ) = m 1 + m 2. Tr−ờng hợp hai ngẫu lực cùng nằm trong một mặt phẳng. Khi đó các mô men của ngẫu lực đ−ợc biểu diễn bởi các mô men đại số. Theo kết quả trên, ngẫu lực tổng hợp trong tr−ờng hợp này cũng nằm trong mặt phẳng tác dụng của hai ngẫu lực đã cho và có mô men bằng tổng đại số 2 mô men của ngẫu lực thành phần: M = (m1 ± m2) Bỏch Khoa Online: hutonline.net
7. Bỏch Khoa Online Giao lưu - Học hỏi - Chia sẻ kinh nghiệm của cỏc thế hệ sinh viờn Bỏch Khoa hutonline.net
8. -15- Bỏch Khoa Online: hutonline.net Ch−ơng 2 Lý thuyết về hệ lực Trong tĩnh học có hai bài toán cơ bản: thu gọn hệ lực và xác định điều kiện cân bằng của hệ lực. Ch−ơng này giới thiệu nội dung của hai bài toán cơ bản nói trên. 2.1 Đặc tr−ng hình học cơ bản của hệ lực Hệ lực có hai đặc tr−ng hình học cơ bản là véc tơ chính và mô men chính. 2.1.1. Véc tơ chính r r r Xét hệ lực ( F1 , F2 , Fn ) tác dụng lên vật rắn (hình 2.1a). Véc tơ chính của hệ lực là véc tơ tổng hình học các véc tơ biểu diễn các lực trong hệ (hình 2.1b) r r F F 1 2 r r b F F 2 3 c a r F 1 r F 3 O m r r F r R r n F n R n a/ H ình 2.1 b/ r r r r n r R = F1 + F2 + Fn = ∑F i (2-1) i=1 r Hình chiếu véc tơ R lên các trục toạ độ oxyz đ−ợc xác định qua hình chiếu các lực trong hệ: r n R x = x1 + x2 + + xn = ∑Xi; i=1 Tỡm kiếm & download ebook: bookilook.com
9. -16- Bỏch Khoa Online: hutonline.net r n R y = y1 + y2 + + yn = ∑Yi; i=1 r n R z = z1 + z2 + +zn = ∑Zi. i=1 Từ đó có thể xác định độ lớn, ph−ơng, chiều véc tơ chính theo các biểu thức sau: r 2 2 2 R = R x + R y + R z ; R R R cos(R,X) = x ; cos(R,Y) = y ; cos(R,Z) = z . R R R Véc tơ chính là một véc tơ tự do. 2.1.2. Mô men chính của hệ lực Véc tơ mô men chính của hệ lực đối với tâm O là véc tơ tổng của các véc tơ mô men các lực trong hệ lấy đối với tâm O (hình 2.2). Nếu ký hiệu mô men r chính là M o ta có n r r r M o = ∑m o( F i) (2 -2) i=1 • m r A1 2 F 1 r r M 0 z1 r m 30 r m 20 r A2 z 2 r m 10 r F O 2 r z 3 A 3 r F 3 Hình 2.2 r Hình chiếu của véc tơ mô men chính M o trên các trục toạ độ oxyz đ−ợc xác định qua mô men các lực trong hệ lấy đối với các trục đó: Tỡm kiếm & download ebook: bookilook.com
10. -17- Bỏch Khoa Online: hutonline.net r r r n r Mx = mx( F1 ) + mx( F2 ) + + mx( Fn ) = ∑mx( F i); i=1 r r r n r My = my( F1 ) + my( F2 ) + + my( Fn ) = ∑my( F i); i=1 r r r n r Mz = mz( F1 ) + mz( F2 ) + +mz( Fn ) = ∑mz( F i). i=1 Giá trị và ph−ơng chiều véc tơ mô men chính đ−ợc xác định theo các biểu thức sau: 2 2 2 Mo = M x + M y + M z M x M y Mz cos(Mo,x) = ; cos(Mo,y) = ; cos(Mo,z) = . Mo Mo Mo r r Khác với véc tơ chính R véc tơ mô men chính M o là véc tơ buộc nó phụ thuộc vào tâm O. Nói cách khác véc tơ chính là một đại l−ợng bất biến còn véc tơ mô men chính là đại l−ợng biến đổi theo tâm thu gọn O. 2.2. Thu gọn hệ lực Thu gọn hệ lực là đ−a hệ lực về dạng đơn giản hơn. Để thực hiện thu gọn hệ lực tr−ớc hết dựa vào định lý rời lực song song trình bày d−ới đây. 2.2.1. Định lý 2.1 : Tác dụng của lực lên vật rắn sẽ không thay đổi nếu ta rời song song nó tới một điểm đặt khác trên vật và thêm vào đó một ngẫu lực phụ r F r A F' d B r F'' Hình 2.3 Tỡm kiếm & download ebook: bookilook.com
11. -18- Bỏch Khoa Online: hutonline.net có mô men bằng mô men của lực đã cho lấy đối với điểm cần rời đến. r Chứng minh: Xét vật rắn chịu tác dụng lực F đặt tại A. Tại điểm B trên vật r r r r r r đặt thêm một cặp lực cân bằng ( F', F'') trong đó F' = F còn F'' = - F. (xem hình 2.3). r r r r Theo tiên đề 2 có: F ∼ ( F, F', F''). r r r r r Hệ ba lực (F, F', F'') có hai lực ( F, F'') tạo thành một ngẫu lực có mô r r men m = m B(F) (theo định nghĩa mô men của ngẫu lực). r r r r Ta đã chứng minh đ−ợc F ∼ F' + ngẫu lực ( F, F'') 2.2.2 Thu gọn hệ lực bất kỳ về một tâm a. Định lý 2.2: Hệ lực bất kỳ luôn luôn t−ơng đ−ơng với một lực bằng véc tơ chính đặt tại điểm O chọn tuỳ ý và một ngẫu lực có mô men bằng mô men chính của hệ lực đối với tâm O đó. r r r Chứng minh: Cho hệ lực bất kỳ ( F1 , F2 , , Fn ) tác dụng lên vật rắn. Chọn điểm O tuỳ ý trên vật, áp dụng định lý rời lực song song đ−a các lực của hệ về r r r đặt tại O. Kết quả cho ta hệ lực ( F1 , F2 , , Fn )o đặt tại O và một hệ các ngẫu lực r r r r r r r r r phụ có mô men là m 1 = m o( F1 ) , m 2 = m o( F2 ), m n = m o( Fn ) (hình 2.4). r r r Hợp từng đôi lực nhờ tiên đề 3 có thể đ−a hệ lực ( F1 , F2 , Fn )o về t−ơng r đ−ơng với một lực R . Cụ thể có: M = M r r r r r r A o ( F1 , F2 ) ∼ R 1 trong đó R 1 = F1 + F2 r 1 F 1 r r r r r r mr ( R 1, F 3 ) ∼ R 2 trong đó R 2 = R 1 + F 3 = 20 mr r r r r 30 m 10 F1 + F2 + F 3 r A2 F 2 r O F 1 r r r r r r R F 3 ( R , F ) ∼ R F (n-1) n A3 2 r Tỡm kiếm & download ebook: bookilook.comF 3 Hình 2.4
12. -19- Bỏch Khoa Online: hutonline.net r r r n r trong đó R = R (n-2) + Fn = ∑F i i=1 r r Hợp lực R của các lực đặt tại O là véc tơ chính R 0 của hệ lực. Các ngẫu lực phụ cũng có thể thay thế bằng một ngẫu lực tổng hợp theo cách lần l−ợt hợp từng đôi ngẫu lực nh− đã trình bày ở ch−ơng 1. Ngẫu lực tổng n r r r hợp của hệ ngẫu lực phụ có mô men M o = ∑m o( F i). Đây là mô men chính của i=1 hệ lực đã cho đối với tâm O Theo định lý 2.2, trong tr−ờng hợp tổng quát khi thu gọn hệ lực về tâm O bất kỳ ta đ−ợc một véc tơ chính và một mô men chính. Véc tơ chính bằng tổng hình học các lực trong hệ và là một đại l−ợng không đổi còn mô men chính bằng tổng mô men các lực trong hệ lấy đối với tâm thu gọn và là đại l−ợng biến đổi theo tâm thu gọn. Để xác định quy luật biến đổi của mô men chính đối với các tâm thu gọn khác nhau ta thực hiện thu gọn hệ lực về hai tâm O và O1 bất kỳ (hình 2.4a). Thực hiện thu gọn hệ về tâm O ta r r r R M r đ−ợc 0 và o. r R 0 R 01 M 0 r M Trên vật ta lấy một tâm O1 khác O 01 r sau đó rời lực R o về O1 ta đ−ợc O O1 r r r r R o ∼ R o1 + ngẫu lực ( R o , R 'o1). r R ' r r r 01 Suy ra ( R o, M o) ∼ R o1 + ngẫu lực Hình 2.4a r r r ( R o , R 'o1) + M o r r Nếu thu gọn hệ về O1 ta đ−ợc M o1 và R o1 . Điều tất nhiên phải có là : r r r r ( R o, M o) ∼ ( R o1 , M o1 ). Thay kết quả chứng minh ở trên ta có: Tỡm kiếm & download ebook: bookilook.com
13. -20- Bỏch Khoa Online: hutonline.net r r r r r ( R o, M o) ∼ Ro1 +( R o, R 'o1) + Mo ∼ ( R o +Mo1) r r r r hay M 01 ∼ M o + ( R o, R '01) (2.3) r r r Ngẫu lực ( R o, R 01) có mô men M ' =mo1.(Ro) Kết luận: Khi thay đổi tâm thu gọn véc tơ mô men chính thay đổi một đại l−ợng M' bằng mô men của véc tơ chính đặt ở tâm tr−ớc lấy đối với tâm sau. 2.2.3. Các dạng chuẩn của hệ lực Kết quả thu gọn hệ lực về một tâm có thể xẩy ra 6 tr−ờng hợp sau 2.2.3.1. Véc tơ chính và mô men chính đều bằng không r r R = 0 ; M o = 0 Hệ lực khảo sát cân bằng. 2.2.3.2. Véc tơ chính bằng không còn mô men chính khác không r r R = 0; M o ≠ 0 Hệ lực t−ơng đ−ơng với một ngẫu lực có mô men bằng mô men chính. 2.2.3.3. Véc tơ chính khác không còn mô men chính bằng không r r R ≠ 0; M o = 0 Hệ có một hợp lực bằng véc tơ chính. 2.2.3.4. Véc tơ chính và mô men chính đều khác không nh−ng vuông góc với nhau (hình 2.5) r r r r R ≠ 0; M o ≠ 0 và R ⊥ M o r r r Trong tr−ờng hợp này thay thế mô men chính M o bằng ngẫu lực ( R ', R '') với điều kiện: r r r r r r r R ' = R ; R '' = - R và M o = m o( R ') r M o r r O' R O' R r r M r n R o P R o o OTỡm kiếm & download ebook:O bookilook.com O d P' r O' R ' a) b)
14. -21- Bỏch Khoa Online: hutonline.net r r r r r Ta có ( R , M o) ∼ ( R , R ', R '' ). r r Theo tiên đề 1 R o và R '' cân bằng do đó có thể bớt đi và cuối cùng hệ còn lại một lực bằng véc tơ chính nh−ng đặt tại O1. Nói khác đi hệ có một hợp lực đặt tại O1. 2.2.3.5. Hai véc tơ chính và mô men chính khác không nh−ng song song với nhau (hình 2.6). r r r r R o ≠ 0; M o ≠ 0 và R o // M o r r r Trong tr−ờng hợp này nếu thay M o bằng một ngẫu lực ( P P ') mặt phẳng r của ngẫu này vuông góc với véc tơ chính R . r Hệ đ−ợc gọi là hệ vít động lực. Nếu véc tơ R song song cùng chiều với r véc tơ M o hệ gọi là hệ vít động lực thuận (phải) và ng−ợc lại gọi là hệ vít động lực nghịch (trái). Hình 2.6 biểu diễn vít động lực thuận 2.2.3.6. Hai véc tơ chính và mô men chính khác không và hợp lực với nhau một góc ϕ bất kỳ (hình 2.7) Tr−ờng hợp này nếu thay thế r r r r véc tơ M o bằng một ngẫu lực ( P P ') M 0 r trong đó cólực P đặt tại O còn lực r r r P ' đặt tại O sao cho m (P) = M . O1 r 1 o o P R ' Rõ ràng mặt phẳng tác dụng của r P ' ϕ r r ngẫu lực ( P P ') không vuông góc với r r R 0 R o. Mặt khác tại O có thể hợp hai r r r lực P và R o thành một lực R '. Nh− Hình 2.7 Tỡm kiếm & download ebook: bookilook.com
15. -22- Bỏch Khoa Online: hutonline.net r r vậy đã đ−a hệ về t−ơng đ−ơng với hai lực P ', R ' hai lực này chéo nhau. 2.2.4. Định lý Va ri nhông r r Định lý: Khi hệ lực có hợp lực R thì mô men của R đối với một tâm hay một trục nào đó bằng tổng mô men của các lực trong hệ lấy đối với tâm hay trục đó. n r r r r m o( R ) = ∑m o( F i) i=1 n r r r r m z( R ) = ∑m z( F i) (2.4) i=1 z r r r r F 1 Chứng minh: Cho hệ lực ( F1 , F2 , , Fn ) r F r 2 tác dụng lên vật rắn. Gọi R là hợp lực của hệ r (hình 2.8). R r y Tại điểm C trên đ−ờng tác dụng của R ' O r F n r r r x hợp lực R đặt thêm lực R ' = - R .Hệ lực đã r cho cùng với R ' tạo thành một hệ lực cân Hình 2.8 bằng: r r r r ( F1 , F2 , Fn , + R ') ∼ 0 Khi thu gọn hệ lực này về một tâm O bất kỳ ta đ−ợc một véc tơ chính và một mô men chính. Các véc tơ này bằng không vì hệ cân bằng, ta có: n r r r r r M o = ∑m o( F i) + m o( R ') = 0 i=1 r r Thay R ' = - R ta có: n r r r r ∑m o( F i) - m o( R ) = 0 i=1 n r r r Hay mo( R ) = ∑m o( F i) i=1 Chiếu ph−ơng trình trên lên trục oz sẽ đ−ợc: Tỡm kiếm & download ebook: bookilook.com
16. -23- Bỏch Khoa Online: hutonline.net r n r mz( R ) = ∑mz( F i) i=1 Định lý đã đ−ợc chứng minh 2.2.5. Kết quả thu gọn các hệ lực đặc biệt 2.2.5.1. Hệ lực đồng quy Hệ lực đồng quy là hệ lực có đ−ờng tác dụng của các lực giao nhau tại một điểm. Trong tr−ờng hợp hệ lực đồng quy nếu chọn tâm thu gọn là điểm đồng quy kết quả thu gọn sẽ cho véc tơ chính đúng bằng hợp lực còn mô men chính sẽ bằng không. R0 ≠ 0, Mo = 0 với O là điểm đồng quy. 2.2.5.2. Hệ ngẫu lực Nếu hệ chỉ bao gồm các ngẫu lực, khi thu gọn hệ sẽ đ−ợc một ngẫu lực tổng hợp có mô men đúng bằng mô men chính của hệ. n M = ∑mi ; mi là mô men của ngẫu lực thứ i và n là số ngẫu lực của hệ. i=1 2.2.5.3. Hệ lực phẳng Hệ lực phẳng là hệ có các lực cùng nằm trong một mặt phẳng. Nếu chọn tâm thu gọn nằm trong mặt phẳng của hệ thì kết quả thu gọn r r r vẫn cho ta một mô men chính M o và véc tơ chính R o. Véc tơ chính R nằm trong r mặt phẳng của hệ còn mô men chính M o vuông góc với mặt phẳng của hệ. Theo r kết quả thu gọn ở dạng chuẩn ta thấy: hệ lực phẳng khi có véc tơ chính R và mô r men chính M o khác không bao giờ cũng có một hợp lực nằm trong mặt phẳng của hệ. 2.2.5.4. Hệ lực song song Hệ lực song song là hệ lực có đ−ờng tác dụng song song với nhau. r Kết quả thu gọn về một tâm bất kỳ cho ta một véc tơ chính R và một mô r men chính M o . Véc tơ chính có đặc điểm song song với các lực của hệ. Tỡm kiếm & download ebook: bookilook.com
17. -24- Bỏch Khoa Online: hutonline.net 2.3. Điều kiện cân bằng và ph−ơng trình cân bằng của hệ lực 2.3.1. Điều kiện cân bằng và ph−ơng trình cân bằng của hệ lực bất kỳ trong không gian 2.3.1.1. Điều kiện cân bằng Điều kiện cân bằng của hệ lực bất kỳ trong không gian là véc tơ chính và mô men chính của nó khi thu gọn về một tâm bất kỳ đều bằng không. r n r R = ∑F 1 = 0 i=1 n r r r M o = ∑m o( F 1) = 0 (2-5) i=1 2.3.1.2. Ph−ơng trình cân bằng Nếu gọi Rx, Ry, Rz và Mx, My, Mz là hình chiếu của các véc tơ chính và mô men chính lên các trục toạ độ oxyz thì điều kiện (2-5) có thể biểu diễn bằng các ph−ơng trình đại số gọi là ph−ơng trình cân bằng của hệ lực bất kỳ trong không gian. Ta có: n n n Rx = ∑Xi = 0, Ry = ∑Yi =0, Rz = ∑Zi = 0 i=1 i=1 i=1 n r n r n r Mx = ∑mx( F i) = 0, My = ∑my( F i) = 0, Mz = ∑mz( F i) = 0. (2-6) i=1 i=1 i=1 Trong các ph−ơng trình trên Xi, Yi, Zi là thành phần hình chiếu của lực Fi; r r r r mx( F i), my( F i), mz( F i) là mô men của các lực F i đối với các trục của hệ tọa độ oxyz. Ba ph−ơng trình đầu gọi là ba ph−ơng trình hình chiếu còn 3 ph−ơng trình sau gọi là 3 ph−ơng trình mô men. 2.3.2. Ph−ơng trình cân bằng của các hệ lực đặc biệt 2.3.2.1 Hệ lực đồng quy r Nếu chọn tâm thu gọn là điểm đồng quy O thì mô men chính M o sẽ bằng không do đó 3 ph−ơng trình mô men luôn luôn tự nghiệm. Vậy ph−ơng trình cân bằng của hệ lực đồng quy chỉ còn: Tỡm kiếm & download ebook: bookilook.com
18. -25- Bỏch Khoa Online: hutonline.net n Rx = ∑Xi = 0 i=1 n Ry = ∑Yi =0 (2-7) i=1 n Rz = ∑Zi = 0 i=1 2.3.2.2. Hệ ngẫu lực r Khi thu gọn hệ ngẫu lực về một tâm ta thấy ngay véc tơ chính R 0 = 0 điều đó có nghĩa các ph−ơng trình hình chiếu luôn luôn tự nghiệm. Ph−ơng trình cân bằng của hệ ngẫu lực chỉ còn lại ba ph−ơng trình mô men sau: n r n Mx = ∑mx( F i) = ∑mix = 0, i=1 i=1 n r n My = ∑my( F i) = ∑miy = 0, (2-8) i=1 i=1 n r n Mz = ∑mz( F i) = ∑miz = 0. i=1 i=1 ở đây mĩx, miy, miz là hình chiếu lên các trục hệ tọa độ oxyz của véc tơ mô r men m i của ngẫu lực thứ i. 2.3.2.3. Hệ lực song song Chọn hệ toạ độ oxyz sao cho oz song song với các lực. Khi đó các hình chiếu Rx, Ry của véc tơ chính và Mz của mô men chính luôn luôn bằng không. Vì vậy ph−ơng trình cân bằng của hệ lực song song chỉ còn lại ba ph−ơng trình sau: n Rz = ∑Zi = 0; i=1 n r Mx = ∑mx( F i) = 0; (2-9) i=1 Tỡm kiếm & download ebook: bookilook.com