Bài giảng Toán rời rạc

Nội dung text: Bài giảng Toán rời rạc

1. Cơ sở Logic I. Mệnh đề Ví dụ - “Hôm nay, An giúp mẹ lau nhà và rửa chén” - “Hôm nay, cô ấy đẹp và thông minh ” - “Ba đang đọc báo hay xem phim”
2. Cơ sở Logic I. Mệnh đề d. Phép kéo theo: Mệnh đề P kéo theo Q của hai mệnh đề P và Q, kí hiệu bởi P Q(đọc là “P kéo theo Q” hay “Nếu P thì Q” hay “P là điều kiện đủ của Q” hay “Q là điều kiện cần của P”) là mệnh đề được định bởi: P Q sai khi và chỉ khi P đúng mà Q sai. P Q P Q Bảng chân trị 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1
3. Cơ sở Logic I. Mệnh đề Ví dụ: -Nếu 1 = 2 thì Lenin là người Việt Nam (Đ) -Nếu trái đất quay quanh mặt trời thì 1 +3 =5 (S) - >4 kéo theo 5>6 (Đ) - < 4 thì trời mưa -Nếu 2+1=0 thì tôi là chủ tịch nước (Đ)
4. Cơ sở Logic I. Mệnh đề e. Phép kéo theo hai chiều: Mệnh đề P kéo theo Q và ngược lại của hai mệnh đề P và Q, ký hiệu bởi P  Q (đọc là “P nếu và chỉ nếu Q” hay “P khi và chỉ khi Q” hay “P là điều kiện cần và đủ của Q”), là mệnh đề xác định bởi: P  Q đúng khi và chỉ khi P và Q có cùng chân trị Bảng chân trị P Q PQ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
5. Cơ sở Logic I. Mệnh đề Ví dụ: - 2=4 khi và chỉ khi 2+1=0 (Đ) - 6 chia hết cho 3 khi và chi khi 6 chia hết cho 2 (Đ) - London là thành phố nước Anh nếu và chỉ nếu thành phố HCM là thủ đô của VN (S) - >4 là điều kiện cần và đủ của 5 >6 (Đ)
6. - Mệnh đề - Dạng mệnh đề - Qui tắc suy diễn - Vị từ, lượng từ - Quy nạp toán học
7. Cơ sở Logic II. Dạng mệnh đề 1. Định nghĩa: là một biểu thức được cấu tạo từ: - Các mệnh đề (các hằng mệnh đề) - Các biến mệnh đề p, q, r, , tức là các biến lấy giá trị là các mệnh đề nào đó - Các phép toán , , , ,  và dấu đóng mở ngoặc (). Ví dụ: E(p,q) = (p q) F(p,q,r) = (p q)  (q r)
8. Cơ sở Logic Bảng chân trị của dạng mệnh đề E(p,q,r): là bảng ghi tất cả các trường hợp chân trị có thể xảy ra đối với dạng mệnh đề E theo chân trị của các biến mệnh đề p, q, r. Nếu có n biến, bảng này sẽ có 2n dòng, chưa kể dòng tiêu đề. Ví dụ: E(p,q,r) =(p q) r . Ta có bảng chân trị sau
9. Cơ sở Logic
10. Cơ sở Logic Bài tập: Lập bảng chân trị của những dạng mệnh đề sau E(p,q,r) = p (q r)  q F(p,q) = (p q) p
11. Cơ sở Logic 2. Tương đương logic: Hai dạng mệnh đề E và F được gọi là tương đương logic nếu chúng có cùng bảng chân trị. Ký hiệu E F. Ví dụ (p  q) p   q Dạng mệnh đề được gọi là hằng đúng nếu nó luôn lấy giá trị 1 Dạng mệnh đề gọi là hằng sai (hay mâu thuẩn nếu nó luôn lấy giá trị 0. Định lý: Hai dạng mệnh đề E và F tương đương với nhau khi và chỉ khi EF là hằng đúng.
12. Cơ sở Logic Hệ quả logic: F được gọi là hệ quả logic của E nếu E F là hằng đúng. Ký hiệu E=>F Ví dụ: (p  q) =>  p
13. Cơ sở Logic Các qui tắc thay thế Qui tắc thay thế 1. Trong dạng mệnh đề E, nếu ta thay thế biểu thức con F bởi một dạng mệnh đề tương đương logic thì dạng mệnh đề thu được vẫn còn tương đương logic với E. Qui tắc thay thế 2 Giả sử dạng mệnh đề E(p,q,r ) là một hằng đúng. Nếu ta thay thế những nơi p xuất hiện trong E bởi một F(p’,q’,r’) thì dạng mệnh đề nhận được theo các biến q,r ,p’,q’,r’, vẫn còn là một hằng đúng.
14. Cơ sở Logic Các qui tắc 1.Phủ định của phủ định   p p 2. Qui tắc De Morgan  (p  q)  p   q  (p  q)  p   q 3. Luật giao hoán p  q q  p p  q q  p 4. Luật kết hợp (p  q)  r p  (q  r) (p  q)  r p  (q  r)
15. Cơ sở Logic 5. Luật phân phối p  (q  r) (p  q)  (p  r) p  (q  r) (p  q)  (p  r) 6. Luật lũy đẳng p  p p p  p p 7. Luật trung hòa p  0 p p  1 p
16. Cơ sở Logic 8. Luật về phần tử bù p   p 0 p   p  9. Luật thống trị p  0 0 p  1 1 10. Luật hấp thu p  (p  q) p p  p  q) p
17. Cơ sở Logic 11. Luật về phép kéo theo: p q p  q q  p Ví dụ: Nếu trời mưa thì đường trơn nếu đường không trơn thì trời không mưa Bài tập: Cho p, q, r là các biến mệnh đề. Chứng minh rằng: (p r)  (q r) (p q) r
18. Cơ sở Logic II. Dạng mệnh đề (p r)  (q r) ( p  r )  ( q  r) ( p  q )  r ( p  q )  r ( p q )  r ( p q ) r
19. Cơ sở Logic III. qui tắc suy diễn Trong các chứng minh toán học, xuất phát từ một số khẳng định đúng p, q, r (tiền đề), ta áp dụng các qui tắc suy diễn để suy ra chân lí của một mệnh đề h mà ta gọi là kết luận. Nói cách khác, dùng các qui tắc suy diễn để chứng minh: (pqr ) có hệ quả logic là h
20. - Mệnh đề - Dạng mệnh đề - Qui tắc suy diễn - Vị từ, lượng từ - Quy nạp toán học
21. Cơ sở Logic III. Qui tắc suy diễn Các qui tắc suy diễn 1. Qui tắc khẳng định (Modus Ponens) Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng: p q  p q Hoặc dưới dạng sơ đồ p q p q
22. Cơ sở Logic Ví dụ •Nếu An học chăm thì An học tốt. • Mà An học chăm Suy ra An học tốt. • Trời mưa thì đường ướt. • Mà chiều nay trời mưa. Suy ra Chiều nay đường ướt.
23. Cơ sở Logic 2. Qui tắc tam đoạn luận rời rạc Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng: p q  q r p r Hoặc dưới dạng sơ đồ p q q r  p r
24. Cơ sở Logic Ví dụ •Nếu trời mưa thì đường ướt. •Nếu đường ướt thì đường trơn Suy ra nếu trời mưa thì đường trơn. •Một con ngựa rẻ là một con ngựa hiếm • Cái gì hiếm thì đắt Suy ra một con ngựa rẻ thì đắt ()
25. Cơ sở Logic 3. Phương pháp phủ định Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng: p q  q p Hoặc dưới dạng sơ đồ p q q p
26. Cơ sở Logic Ví dụ Nếu An đi học đầy đủ thì An đậu toán rời rạc. An không đậu toán rời rạc. Suy ra: An không đi học đầy đủ
27. Cơ sở Logic 4. Qui tắc tam đoạn luận rời rạc Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng: p q  q p Hoặc dưới dạng sơ đồ p q q  p Ý nghĩa của qui tắc: nếu trong hai trường hợp có thể xảy ra, chúng ta biết có một trường hợp sai thì chắc chắn trường hợp còn lại sẽ đúng.
28. Cơ sở Logic Ví dụ Chủ nhật, An thường lên thư viện hoặc về quê Chủ nhật này, An không về quê Suy ra: An lên thư viện
29. Cơ sở Logic 5. Qui tắc mâu thuẫn (chứng minh bằng phản chứng) Ta có tương đương logic p1  p2   pn q p1  p2   pn  q 0 Để chứng minh vế trái g là một hằng đúng ta chứng minh nếu thêm phủ định của q vào các tiền đề thì được một mâu thuẫn. Cho a, b, c là 3 đường thẳng phân biệt và a//c và b//c chứng minh a//b.
30. Cơ sở Logic III. Qui tắc suy diễn Hãy chứng minh: Cm bằng phản chứng. p r p r p q p q q s q s r r s s 0
31. Cơ sở Logic 6. Qui tắc chứng minh theo trường hợp Dựa trên hằng đúng: p r  q r p q r Ý nghĩa: nếu p suy ra r và q suy ra r thì p hay q cũng có thể suy ra r.
32. Cơ sở Logic 7. Phản ví dụ Để chứng minh một phép suy luận là sai hay p1  p2   pn q không là một hằng đúng. Ta chỉ cần chỉ ra một phản ví dụ.
33. Company Logo Suy luận sau có đúng ko? Ông Minh nói rằng nếu không được tăng lương thì ông ta p: ông Minh được tăng sẽ nghỉ việc. Mặt khác, nếu lương. ông ấy nghỉ việc và vợ ông q: ông Minh nghỉ việc. ấy bị mất việc thì phải bán r: vợ ông Minh mất việc. xe.Biết rằng nếu vợ ông s: gia đình phải bán xe. Minh hay đi làm trễ thì trước sau gì cũng sẽ bị mất t: vợ ông hay đi làm trể. việc và cuối cùng ông Minh đã được tăng lương. p q Suy ra nếu ông Minh không q r s s=0 bán xe thì vợ ông ta đã t=1 không đi làm trễ t r p=1 q=0 p r=1 s t
34. Cơ sở Logic Ví dụ Kiểm tra suy luận sau: p (q r) p s t p s  r t
35. Cơ sở Logic
36. Ví dụ 46
37. Ví dụ 49
38. - Mệnh đề - Dạng mệnh đề - Qui tắc suy diễn - Vị từ, lượng từ - Quy nạp toán học
39. Cơ sở Logic IV. Vị từ và lượng từ 1. Định nghĩa: Vị từ là một khẳng định p(x,y, ), trong đó x,y là các biến thuộc tập hợp A, B, cho trước sao cho: -Bản thân p(x,y, ) không phải là mệnh đề -Nếu thay x,y, thành giá trị cụ thể thì p(x,y, ) là mệnh đề. Ví dụ: - p(n) = “n +1 là số nguyên tố” - q(x,y) = “x2 + y = 1” - r(x,y,z) = “x2 + y2 >z”
40. Cơ sở Logic 2. Các phép toán trên vị từ Cho trước các vị từ p(x), q(x) theo một biến x A. Khi ấy, ta cũng cá các phép toán tương ứng như trên mệnh đề: - Phủ định: p(x) - Phép nối liền (hội, giao): p(x)  q(x) - Phép nối rời (tuyển, hợp): p(x)  q(x) - Phép kéo theo: p(x) q(x) - Phép kéo theo hai chiều: p(x)q(x)
41. Cơ sở Logic Khi xét một mệnh đề p(x) với x A. Ta có các trường hợp sau - TH1. Khi thay x bởi 1 phần tử a tùy ý A, ta có p(a) đúng. - TH2. Với một số giá trị a A, ta có p(a) đúng. - TH3. Khi thay x bởi 1 phần tử a tùy ý A, ta có p(a) sai. Ví dụ. Cho vị từ p(x) với x R - p(x) = “x2 +1 >0” - p(x) = “x2 -2x+1=0” - p(x) = “x2 -2x+3=0”
42. Cơ sở Logic Định nghĩa: Cho p(x) là một vị từ theo một biến xác định trên A. Các mệnh đề lượng từ hóa của p(x) được định nghĩa như sau: -Mệnh đề “Với mọi x thuộc A, p(x) ”, kí hiệu: “x A, p(x)” là mệnh đề đúng khi và chỉ khi p(a) luôn đúng với mọi giá trị a A. -Mệnh đề “Tồn tại (có ít nhất một) x thuộc A, p(x)” kí hiệu “x A, p(x)” là mệnh đề đúng khi và chỉ khi có ít nhất một giá trị x= a0 A nào đó sao cho mệnh đề p(a0) đúng.  : được gọi là lượng từ phổ dụng  : được gọi là lượng từ tồn tại
43. Cơ sở Logic Ví dụ. Các mệnh đề sau đúng hay sai? -“x R, x2 + 3x + 1 0” S -“x R, x2 + 3x + 1 0” Đ -“x R, x2 + 1 2x” Đ -“x R, x2 + 1 < 0” S
44. Cơ sở Logic Định nghĩa. Cho p(x, y) là một vị từ theo hai biến x, y xác định trên A B. Ta định nghĩa các mệnh đề lượng từ hóa của p(x, y) như sau: “x A,y B, p(x, y)” = “x A, (y B, p(x, y))” “x A, y B, p(x, y)” = “x A, (y B, p(x, y))” “x A, y B, p(x, y)” = “x A, (y B, p(x, y))” “x A, y B, p(x, y)” = “x A, (y B, p(x, y))”
45. Cơ sở Logic IV. Vị từ và lượng từ Ví dụ. -Mệnh đề “x R, y R, x + 2y < 1” đúng hay sai? sai vì tồn tại x0 = 0, y0 = 1 R mà x0 + 2y0 1. -Mệnh đề “x R, y R, x + 2y < 1” đúng hay sai? đúng vì với mỗi x = a R, tồn tại ya R như ya = –a/2, sao cho a + 2ya < 1.
46. Cơ sở Logic Ví dụ. -Mệnh đề “x R, y R, x + 2y < 1” đúng hay sai? sai vì không thể có x = a R để bất đẳng thức a + 2y < 1 được thỏa với mọi y R (chẳng hạn, y = –a/2 + 2 không thể thỏa bất đẳng thức này). Mệnh đề “x R, y R, x + 2y < 1” đúng hay sai? đúng vì tồn tại x0 = 0, y0 = 0 R chẳng hạn thỏa x0 + 2y0 < 1.
47. Cơ sở Logic Định lý. Cho p(x, y) là một vị từ theo hai biến x, y xác định trên A B. Khi đó: 1) “x A, y B, p(x, y)” “y B, x A, p(x, y)” 2) “x A, y B, p(x, y)” “y B, x A, p(x, y)” 3) “x A, y B, p(x, y)” “y B, x A, p(x, y)” Lưu ý: Chiều đảo của 3) nói chung không đúng.
48. Cơ sở Logic Phủ định của mệnh đề lượng từ hóa vị từ p(x,y, ) có được bằng cách: thay  thành , thay  thành , và thay vị từ p(x,y, ) thành  p(x,y, ).
49. Cơ sở Logic Với vị từ theo 2 biến. x A,y B, p x, y x A, y B, p x, y x A, y B, p x, y x A,y B, p x, y x A,y B, p x, y x A, y B, p x, y x A, y B, p x, y x A,y B, p x, y
50. Với vị từ theo 1 biến ta có : x A, p x x A, p x x A, p x x A, p x
51. Cơ sở Logic Ví dụ phủ định các mệnh đề sau a) “x A, 2x + 1 0” b) “ > 0,  > 0, x R,  x – a 0” b) “ > 0,  > 0, x R,  x – a <   (f(x) – f(a) )”.
52. - Mệnh đề - Dạng mệnh đề - Qui tắc suy diễn - Vị từ, lượng từ - Quy nạp toán học
53. VII. Quy Nạp