Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 5: Chuyển vị của dầm chịu uốn

Nội dung text: Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 5: Chuyển vị của dầm chịu uốn

1. Ví dụ 1 M Pz y"= − x = EJ x EJ x ◼ Lấy tích phân lần 1: phương trình góc xoay như sau P = y'= z 2 + C 2EJ x ◼ Lấy tích phân lần 2: phương trình độ võng P 3 như sau y = z + Cz + D 6EJ x 11
2. Ví dụ 1 Điều kiện biên z = l, y’ = 0, y = 0 P P = y'= z 2 − l 2 2EJ x 2EJ x 3 Pz Pz P 2 y = − l 2 + l 3 Pl 6EJ 2EJ 3EJ C = − x x x 2EJ Pl 2 x 3 3 3 max = − Pl Pl Pl 2EJ x D = − + = 6EJ 2EJ 3EJ Pl3 x x x ymax = f = 3EJ x 12
3. Ví dụ 2 ◼ Viết phương trình độ võng và góc xoay của dầm đặt trên hai gối tựa đơn chịu tải trọng phân bố đều q, độ cứng dầm không đổi. 13
4. Ví dụ 2 ◼ Mômen uốn tại mặt cắt 1-1 có hoành độ z là ql q M = z − z 2 X 2 2 ◼ Phương trình vi phân của đường đàn hồi M q y" = − x = − (lz − z 2 ) EJ x 2EJ x 14
5. Ví dụ 2 ◼ Phương trình góc xoay và độ võng là q lz2 z3 = y'= − − + C 2EJ x 2 3 q lz3 z 4 y = − − + Cz + D 2EJ x 6 12 ◼ Điều kiện biên D = 0 z = 0 → y = 0 ql 3 C = 24EJ z = l → y = 0 x 15
6. Ví dụ 2 ql 3 6z 2 4z3 = y'= − 1− − 2 3 24EJ x l l ql 3 2z 2 z3 y = z 1− + 2 3 24EJ x l l 4 ◼ Độ võng lớn nhất tại mặt 5 ql cắt có y’ = 0 y = f = max 384 EJ ◼ Góc xoay lớn nhất tại x các mặt cắt ngang có y’’ ql 3 = 0 (Mx=0) tức là tại các = gối tựa z = 0 và z = l max 24EJ x 16
7. Ví dụ 3 Viết phương trình độ võng và góc xoay của dầm đặt trên hai gối tựa đơn chịu tác dụng của lực tập trung P như hình vẽ. 17
8. Ví dụ 3 Biểu thức mômen uốn tại hai mặt cắt 1-1, 2-2: Pb M = z (0 z a) X1 l Pb M = z − P(z − a) (a z l) X 2 l 18
9. Ví dụ 3 Phương trình vi phân của đường đàn hồi trong các đoạn AB, BC Pb y1 " = − z1 lEJ x Pb P y 2 " = − z + (z − a) lEJ x EJ x 19
10. Ví dụ 3 Pb z2 1 = y1' = − + C1 lEJx 2 (0 z a) Pb z3 y = − + C z + D 1 1 1 lEJx 6 Pb z2 P (z − a)2 2 = y2 '= − + + C2 lEJx 2 EJ x 2 (a z l) 3 Pb z3 P (z − a) y = − + + C z + D 2 2 2 lEJx 6 EJ x 6 20
11. Ví dụ 3 Pb l2 − b 2 z 2 = y '= ( ) − z = 0 → y = 0 1 1 1 lEJ x 6 2 z = l → y = 0 2 2 2 2 Pb l − b z y = ( )z − 1 y1 = y2 lEJ 6 6 z = a → x y'1 = y'2  2 2 2 2 Pb z l(z − a) (l − b ) 2 = y 2 '= − − D1 = D2 = 0 lEJ x 2 2b 6 C1 = C2  3 2 2 3 Pb Pb (z − a) l − b z = l2 − b2 ( ) ( ) y 2 = l + z − 6lEJ x  lEJ x 6b 6 6 21
12. Ví dụ 3 5 ql 4 ymax = f = 384 EJ x ql 3 max = 24EJ x 22
13. Phương pháp tải trọng giả tạo d 2 M d 2 M M = q z y" = = − x 2 ( ) 2 dz dz EJ x Tưởng tượng ta tác dụng lên 1 dầm M x nào đó (gọi là dầm giả tạo) một tải q gt = − trọng phân bố giả tạo có cường độ: EJ x 2 d 2 y M d M = − x = q = gt 2 gt 2 dQ dz EJ x dz dy' gt 2 = d 2 y d M y"= = gt = q dz dz dz 2 dz 2 gt 23
14. Phương pháp tải trọng giả tạo Chọn dầm giả tạo với các điều kiện sao cho có sự tương ứng: y (dầm thực) = Mgt (dầm giả tạo) (dầm thực)= Qgt (dầmgiả tạo) thì có thể thay đổi việc tích phân biểu thức y’’ bằng cách tính nội lực trên dầm giả tạo khi biết qgt . 24
15. Phương pháp tải trọng giả tạo ◼ Cách chọn dầm giả tạo y(dầm thực)=Mgt(dầm giả tạo) (dầm thực)=Qgt(dầmgiả tạo) 25
16. Phương pháp tải trọng giả tạo Mx >0 thì qgt 0 qgt hướng lên. Để tính hợp lực của lực phân bố qgt trên các chiều dài khác nhau ta xác định trước các hoành độ trọng tâm và diện tích  của những hình giới hạn bởi các đường cong. 26
17. Phương pháp tải trọng giả tạo 27
18. Ví dụ 4 Tính độ võng và góc xoáy tại đầu tự do của dầm công-son, chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều q. Biết dầm có độ cứng Ejx=const. 28
19. Ví dụ 4 2 3 B 1 qL qL Qgt = x xL = 3 2EJ x 6EJ x 1 qL2 3 qL4 B Mgt = x xL x L = 3 2EJ x 4 8EJ x 3 qL4 B qL B  = Q = yB = Mgt = B gt 8EJ 6EJ x x 29
20. Ví dụ 5 Xác định độ võng và góc xoay ở đầu mút D của dầm có độ cứng không đổi chịu lực như hình vẽ. Cho EJx=const. 30
21. Ví dụ 5 31
22. Ví dụ 5 32
23. Ví dụ 5 2 16.6 − .18.6 1 12.104 V = V = 3 104. = B C 2 EJ EJ 12.104 16.104 2 28.104 Q = + . = gt EJ EJ 2 EJ 12.104 16x104 2 2 136.104 M = .2 + . . .2 = gt EJ EJ 2 3 EJ 33
24. Ví dụ 5 136.104 y = M D = (m) D gt EJ 28.104  = QD = (rad ) D gt EJ 34
25. Phương pháp thông số ban đầu y (z) = y (z) + y + y' (z − a) Phương m+1 m a a 1 (z − a)2 trình độ − K M (a) − K M (a) võng của EJ m+1 m+1 m m 2! đoạn thứ 1 (z − a)3 − K Q (a) − K Q (a) m+1 được EJ m+1 m+1 m m 3! xác định 1 (z − a)4 theo công − K m+1q m+1 (a) − K m q m (a) thức trung EJ 4! hòa 1 (z − a)5 − K q' (a)− K q' (a) − EJ m+1 m+1 m m 5! 35
26. Phương pháp thông số ban đầu ◼ Trong đó: EJ Km+1 = Em+1Jm+1 EJ Km = EmJm 36
27. Phương pháp thông số ban đầu ◼ Phương trình độ võng trên đoạn thứ 1 1 z2 y (z) = y + y '(z)− K M 1 0 0 EJ 1 0 2! 1 z3 1 z4 1 z5 − K Q − K q − q ' − EJ 1 0 3! EJ 1 0 4! EJ 0 5! 37
28. Phương pháp thông số ban đầu Nếu EJ=const trên suốt chiều dài cóKm+1=Km=1 y1(z) = y0 + y0 '(z)− M Q q q' − 0 z2 − 0 z3 − 0 z4 − 0 z5 − 2!EJ 3!EJ 4!EJ 5!EJ 38
29. Phương pháp thông số ban đầu ' ym+1(z) = ym (z) + ya + ya (z − a) 1 (z − a)2 −  M  EJ a 2! 1 (z − a)3 −  Q  EJ a 3! 1 (z − a)4 −  q  EJ a 4! 1 (z − a)5 −  q'  − EJ a 5! 39
30. Phương pháp thông số ban đầu Trong đó ◼ y(a), y’(z), Ma, Qa, qa, q’a,,, là bước nhảy của độ võng, góc xoay, mômen uốn, lực cắt, tải phân bố tại mặt cắt có hoành độ z=a. ◼ y0, y’0, M0, Q0, q0, q’0 là độ võng, góc xoay, mômen uốn, lực cắt, cường độ lực phân bố và đạo hàm của lực phân bố tại đầu mút của dầm tại (z=0) a tính từ đầu mút trái của dầm đến mặt tiếp giáp giữa đoạn thứ m và m+1 40
31. Ví dụ 6 Tính độ võng tại đầu nút tự do của dầm bằng thép chịu lực như hình vẽ. Dầm có mặt cắt ngang là tròn, được cấu tạo thành hai bậc với đường kính là: d1= 13,3cm, d2 = 9cm, hai đoạn dầm đều cùng cấu tạo bằng một loại vật liệu có E=2.105MN/m2 41
32. Ví dụ 6 Các phản lực tại ngàm có trị số là: ◼ VA = P1 + P2=22kN ◼ MA= 12 x 0,6 + 10 X 0.6 x 2 = 19,2kNm 42
33. Ví dụ 6 Chiều của các phản lực được biểu diễn như hình 43
34. Ví dụ 6 Theo sự phân bố của tải trọng, ta chia dầm thành hai đoạn AB, AC. Chọn độ cứng của đoạn AB làm độ cứng quy ước. Vậy trị số của hệ số K như sau: K1=1 4 4 E J J d 13,3 1 1 1 1 K 2 = = = = = 4,798 E 2 J 2 J 2 d 2 9 d 4 .0,1334 J = 1 = = 15,36.106 m4 1 64 64 44
35. Ví dụ 6 Tại A Tại B z=a=0 z=a=0,6m y0=0 M2(a)= -6kNm y’0=0 M1(a)= -6kNm M0=-MA= Q2(a)= 10kN -19,2kNm Q1(a)= 22kN Q0=VA=22kN q1(a)=0,q’1(a)=0 q0=0 q2(a)=0,q’2(a)=0 q’0=0 45
36. Ví dụ 6 Phương trình đường đàn hồi trong đoạn 1: 1 z 2 1 z3 y (z) = − K M − K Q 1 EJ 1 0 2! EJ 1 0 3! 19,2 z2 22 z3 y (z) = − 1 2.108.15,36.10−6 2! 2.108.15,36.10−6 3! 46
37. Ví dụ 6 Phương trình đường đàn hồi trong đoạn hai là: 1 (z − a)2 y (z) = y (z)− K M (a)− K M (a) 2 1 EJ 2 2 1 1 2! 1 (z − a)3 − K Q (a)− K Q (a) EJ 2 2 1 1 3! 1 (z − 0,6)2 y (z) = y (z)− 4,798(− 6)+ 6 2 1 EJ 2! 1 (z − 0,6)3 − 4,798x10 − 22 EJ 3! 47
38. Ví dụ 6 −3 2 −3 3 y2 (z) = 3,125.10 z −1,194.10 z + 3,709.10−3 (z − 0,6)2 −1,409.10−3 (z − 0,6)3 Độ võng tại đầu mút tự do C sẽ là: −3 2 −3 3 y2 (1,2) = fC = 3,125.10 (1,2) −1,194.10 (1,2) + 3,709.10−3(0,6)2 −1,409.10−3(0,6)3 = 3,46.10−3 m 48
39. Ví dụ 7 Tính góc xoay của mặt cắt ngang ở gối tựa A của dầm có độ cứng không đổi chịu tải trọng như hình 49
40. Ví dụ 7 Thông số ban đầu và z=0 z=a z=b z=c các hệ số xác định y0=0 ya=0 yb=0 yc=0 theo điều y’0=0 y’a=0 y’b=0 y’c=0 kiện biên M =0 M =0 M =0 M =M của mỗi 0 a b c Q =V Q =0 Q =-P Q =0 đoạn được 0 A a b c xác định q0=-q qa=q qb=0 qc=0 như sau: q’0=0 q’a=0 q’b=0 q’c=0 50
41. Ví dụ 7 Phương trình đường đàn hồi của các đoạn: V z3 q z4 y (z) = y' z − A + , 1 0 EJ 3! EJ 4! 0 z a q (z − a)4 y (z) = y z − 2 1 EJ 4! V z3 q z4 q (z − a)4 = y' z − A + − , 0 EJ 3! EJ 4! EJ 4! a z b 51
42. Ví dụ 7 P (z − b)3 y (z) = y (z) + 3 2 EJ 3! V z3 q z4 = y' z − A + b z c 0 EJ 3! EJ 4! q (z − a)4 P (z − b)3 − + EJ 4! EJ 3! 52
43. Ví dụ 7 M(z − c)2 y (z) = y (z) − 4 3 2! V z3 q z4 q (z − a)4 = y' z − A + − c z l 0 EJ 3! EJ 4! EJ 4! P (z − b)3 M (z − c)2 + − EJ 3! EJ 2! 53
44. Ví dụ 7 Để xác định thông số ban đầu y’0, ta phải dựa vào điều kiện biên tại B của dầm. Với z= l thì yB= 0. y 4 (l) = 0 V l3 q l q (l − a)4 P (l − b)3 M (l − c)2 y (z) = y' z − A + − + − 4 0 EJ 3! EJ 4! EJ 4! EJ 3! EJ 2! V l3 q l q (l − a)4 P (l − b)3 M (l − c)2 y' z = A − + − + = y' 0 EJ 3! EJ 4! EJ 4! EJ 3! EJ 2! 0 54
45. Ví dụ 8 Viết phương trình đường đàn hồi của dầm tĩnh định chịu lực như hình vẽ, độ cứng của toàn dầm là như nhau. 55
46. ◼ phản lực tại ngàm A và ở đầu mút C ql V = A 2 ql 2 M = A 2 ql V = C 2 56
47. z=a=0 z=a=L y =0 y = 0, Qa = 0 0 ql a y’ =0 Q0 = y’a 0, qa = -q 0 2 Ma = 0, q’a = 0 ql 2 M = −M = − 0 A 2 57
48. Phương trình đường đàn hồi trong các đoạn có dạng như sau: qL2 z 2 qL z3 y (z) = − 1 2EJ 2! 2EJ 3! q (z − L)4 y (z) = y (z)+ + y' (z − L) 2 1 EJ 4! a qL2 z 2 qL z3 q (z − L)4 = − + + y' (z − L) 2EJ 2! 2EJ 3! EJ 4! a 58
49. Để xác định y’a ta dựa vào điều kiện biên tại C của dầm. Với z=2l, y2(z)=0 qL2 4L2 qL 8L3 q L4 − + + y' .L = 0 2EJ 2 2EJ 6 EJ 24 a 9 qL3 y' = − a 24 EJ qL2 z 2 qL z3 q (z − L)4 9 qL3 y (z) = − + − (z − L) 2 2EJ 2! 2EJ 3! EJ 4! 24 EJ 59
50. Bài toán siêu tĩnh ◼ Bài toán trong đó số ẩn > số phương trình cân bằng tĩnh học ◼ giải quyết bài toán: tìm 1 số phương trình phụ dựa vào điều kiện biến dạng. 60
51. Ví dụ 8 61
52. Ví dụ 8 Căn cứ vào biểu đồ momen uốn do q và VB gây ra ta có thể chọn dầm giả tạo và qgt như trên hình. 2 Momen giả 1 qL 3L VBL L 2L tạo tại B: Mgt = L − . . = yB 3 2EJ x 4 EJ 2 3 62
53. Ví dụ 8 1 qL2 3L yB = L 3 2EJ x 4 V L L 2L − B . . = 0 EJ 2 3 3 → V = qL B 8 63
54. Dầm chống uốn đều P Q = y 2 P M = z x 2 M PL Pz  = x = d = 3 3 Wx 0,1d 0,1 64
55. Dầm chống uốn đều 4 Q y 4 Q y  =  d = d1 = maax 3 F 3  65