Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 3: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

Nội dung text: Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 3: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

1. Mômen quán tính của một số hình phẳng đơn giản 4 ◼ Mặt cắt hình tròn R J = J = x y 2 D4 J = 0,1D4 P 32 D4 J = J = 0,05D4 x y 64 11
2. Mômen quán tính của một số hình phẳng đơn giản ◼ Mặt cắt ngang hình vành khăn D4 d 4 D4 J = − = (1− 4 ) 0,1D4 (1− 4 ) P 32 32 32 J D4 J = J = P = (1− 4 ) 0,05D4 (1− 4 ) x y 2 64 12
3. Bán kính quán tính J x ix = F ix , iy: bán kính quán tính của mặt cắt ngang đối với trục x và trục y J i = y y F 13
4. Bán kính quán tính ◼ Mặt cắt hình chữ nhật: h b i x = i = 12 y 12 ◼ Mặt cắt hình tròn: D i = i = x y 4 ◼ Mặt cắt hình vành khăn: D i = i = 1+ 2 x y 4 14
5. Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính ◼ Vấn đề: biết Jx, Jy, Jxy đối với hệ trục Oxy. Tìm JX, JY, JXY đối với hệ trục song song OXY X = x + a Y = y + b 15
6. Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính 2 JX = J x + 2bSx + b F 2 JY = J y + 2aSy + a F J = J + aS + bS + abF XY xy x y 16
7. Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính ◼ Nếu x, y là hệ ◼ Nếu xy là hệ trục quán trục trung tâm, thì tính chính trung tâm, thì Sx = Sy = 0 và Jxy = 0 Sx = Sy = 0 2 2 JX = J x + b F J = J + b F X x 2 2 JY = J y + a F J Y = J y + a F J = J + abF J = abF XY xy X Y 17
8. Công thức xoay trục của mômen quán tính Vấn đề ◼ Có diện tích mặt cắt ngang F ◼ Giả sử biết: mômen quán tính của diện tích F (Jx, Jy, Jxy) đối với hệ trục Oxy. ◼ Tính mômen quán tính của diện tích F đối với hệ trục Ouv 18
9. Công thức xoay trục của mômen quán tính Gọi (u, v) là tọa độ của điểm A trong hệ tọa độ Ouv, ta có 2 ◼u = xcos + ysin J u = v dF ◼v = -xsin + ycos (a) F 2 Mômen quán tính đối với hệ J v = u dF trục Ouv là F J = uvdF uv F 19
10. 2 2 J u = J x cos + J y sin − 2J xy sin .cos 2 2 J v = J x sin + J y cos + 2J xy sin .cos 2 2 J uv = J x sin cos − J y sin cos + J xy (sin − cos ) J + J J − J J = x y + x y cos 2 − J sin 2 u 2 2 xy J + J J − J J = x y + x y cos 2 + J sin 2 v 2 2 xy J − J J = x y sin 2 − J cos 2 uv 2 xy 20
11. Công thức xoay trục của mômen quán tính ◼ Vị trí hệ trục quán 2J tính chính trung tg2 = − xy tâm được xác định J x − J y từ điều kiện Juv=0 hay J x + J y 1 2 2 Trị số mômen Jmax = + (J x − J y ) + 4J xy quán tính đối với 2 2 J + J 1 hệ trục quán tính J = x y − (J − J )2 + 4J 2 chính min 2 2 x y xy 21
12. Ví dụ 4.1 Xác định mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt 22
13. Ví dụ 4.1 ◼ Xác định trọng tâm mặt cắt 3 F y  i i 5 y = i=1 = a c 3 3  Fi i=1 23
14. Ví dụ 4.1 ◼ Mômen quán tính chính trung tâm F1 F2 F3 J x = J x + J x + J x 143 = a4 3 F1 F2 F3 J y = J y + J y + J y =19a4 24
15. Ví dụ 4.1 ◼ Bán kính quán tính chính J 143 i = x = a2 =1,993a x F 3.12 J 19 i = y = a2 =1,258a y F 12 25
16. Ví dụ 4.2 Một thanh ghép gồm hai thanh ◼ Thép chữ  có số hiệu N0 20a ◼ Thép góc đều cạnh có số hiệu N08(80x80x6). Xác định các mômen quán tính chính và phương của hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt. 26
17. Ví dụ 4.2 Đối với thép chữ  (số hiệu N0 20a) ◼h = 20cm ◼b1= 8cm ◼z1 = 2,27cm 2 ◼F1 = 25cm 4 ◼Jx1 = 1660cm 4 ◼Jy1 = 137cm 27
18. Ví dụ 4.2 Đối với thép chữ góc đều cạnh (số hiệu N0 8 (80x80x6) ◼ b2= 8cm ◼ z2 = 2,19cm ◼ F2 = 9,38cm2 4 ◼ Jx2 = Jy2 = 57cm 4 ◼ Jx0 = Jmax = 90,4cm 4 ◼ Jy0 = Jmin = 23,5cm 28
19. Ví dụ 4.2 Xác định trọng tâm mặt cắt: xC =1,217cm yC = 2,13cm Lập hệ trục trung tâm XCY, gọi C1 và C2 là tọa độ trọng tâm của thép  và thép V: C1(-1,217; -2,13), C2(3,25; 5,68) 29
20. Ví dụ 4.2 ◼ Mômen quán tính chính và phương của hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt. F1 F2 JX = JX + JX F1 F2 JY = JY + JY F1 F2 JXY = JXY + JXY 30
21. Ví dụ 4.2 2 JF1 = JF1 + (Y ) F = 1660 + 25x2,132 = 1773,4cm4 X x1 C1 1 2 2 JF2 = JF2 + Y F = 57 + 9,38 5,68 = 359,6cm4 X x2 ( C2 ) 2 ( ) 2 JF1 = JF1 + (X ) F = 137 + 25x1,2172 = 173,6cm4 Y y1 C1 1 2 JF2 = JF2 + (X ) F = 57 + 9,38x3,252 = 156cm4 Y y2 C2 2 31
22. Ví dụ 4.2 ◼ Để tính được mômen quán tính ly tâm, trước tiên ta phải tính mômen ly tâm của thép góc đều cạnh đối với hệ trục O2x2y2. J − J J = x0 y0 sin 2 + J cos 2 x2y2 2 x0y0 sin2 =sin900=1 990,4 − 23,5 4 J =0 J = = 33,45cm x0y0 x2y2 2 32
23. Ví dụ 4.2 J F1 = J F1 + a b F XY x1y1 1 1 1 = 0 +1,21x2,13x25 = 64,4325cm4 J F2 = J F2 + a b F XY x2 y2 2 2 2 = 33,45 + (3,25x5,68)9,38 = 206,6cm4 33
24. Ví dụ 4.2 F1 F2 4 JX = JX + JX = 2133cm F1 F2 4 JY = JY + JY = 330cm F1 F2 4 JXY = JXY + JXY = 271cm 34
25. Ví dụ 4.2 Phương của hệ trục quán tính chính trung tâm là: 2J 2x271 tan2 = − XY = − = −0,301 JX − JY 2133 − 330 0 0 Giải ra ta được 1= -8 36’, 2=81 24’ 35
26. Ví dụ 4.2 Trị số mômen quán tính đối với hệ trục quán tính chính trung tâm 2 2 JX + JY (JX − JY ) + 4JXY Jmax = min 2 2 2133+ 330 (2133−330)2 + 4.2712 J max = min 2 2 2171,5cm4 = 292,5cm4 36
27. Ví dụ 4.3 ◼ Xác định mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt 37
28. Xác định trọng tâm mặt cắt Chọn hệ trục xOy, chia mặt cắt thành hai hình, trọng tâm mặt cắt được xác định từ công thức xC =1,5a yC = 4a Vậy trọng tâm mặt cắt có tọa độ C(1,5a; 4a). Qua C lập hệ C1(0,5a,a) trục trung tâm XCY, khi đó C1, C đối với hệ trục XCY là 2 C2 (− a,−2a) 38
29. Ví dụ 4.3 Mômen quán tính chính F1 F2 4 JX = JX + JX = 32a F1 F2 4 JY = JY + JY = 17a F1 F2 4 JXY = JXY + JXY = 12a 39
30. Ví dụ 4.3 Phương của hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt. 4 2JXY 2x12a tan2 = − = − 4 4 = −1,6 JX − JY 32a −17a 0 Giải ra ta được 1= -29 , 0 2=61 40
31. Ví dụ 4.3 ◼ Trị số mômen quán tính đối với hệ trục quán tính chính trung tâm là: 2 2 JX + JY (JX − JY ) + 4JXY Jmax = min 2 2 2 2 32a 4 +17a 4 (32a 4 −17a 4 ) + 4(12a 4 ) 38,65a 4 J = = max 4 min 2 2 10,85a 41